Question

3．飛行時間質譜儀可以根據帶電粒子的飛行時間對氣體分子進行分析．如圖所示，在真空狀態(tài)下，自脈沖閥P噴出微量氣體，經激光照射產生不同正離子，自a板小孔進入a、b間的加速電場，從b板小孔射出，沿中線方向進入M、N板間的方形區(qū)域，然后到達緊靠在其右側的探測器．已知極板a、b間的電壓為U₀，間距為d，極板M、N的長度和間距均為L．不計離子重力及經過a板時的初速度．
（1）若M、N板間無電場，請推導出離子從a板到探測器的飛行時間t與比荷k（k=$\frac{q}{m}$，q和m分別為離子的電荷量和質量）的關系式．
（2）若在M、N間只加上偏轉電壓U₁，請論證說明不同正離子的軌跡是否重合．
（3）為保證離子不打在極板上，試求U₀與U₁的關系．

Answer 1

分析 （1）分析帶電離子在平行板a、b之間和M、N之間的運動情況，運用牛頓第二定律和運動學公式求解．
（2）帶電離子在平行板M、N之間做類平拋運動，求出軌跡方程判斷．
（3）離開偏轉電場時x=L，且滿足y＜$\frac{L}{2}$時離子不打在極板上，從而求出U₀與U₁的關系．

解答 解：（1）帶電離子在平行板a、b間運動時，根據動能定理得：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，即：v=$\sqrt{2k{U}_{0}}$．
帶電離子在平行板a、b間的加速度${a}_{1}=\frac{q{U}_{0}}{md}$，即：${a}_{1}=\frac{k{U}_{0}}z5l7vrv$．
所以，帶電離子在平行板a、b間運動的時間為“${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{d\sqrt{2k{U}_{0}}}{k{U}_{0}}$．
帶電離子在平行板M、N間運動的時間為：${t}_{2}=\frac{L}{v}=\frac{L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$．
所以，帶電離子的全部飛行時間為：t=t₁+t₂=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$．
（2）正離子在平行板M、N間水平方向運動位移為x時，在豎直方向運動的位移為y，
水平方向滿足x=vt…①
豎直方向滿足y=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$…②
加速度：${a}_{2}=\frac{{U}_{1}k}{L}$…③
由上述①②③得：y=$\frac{{U}_{1}{x}^{2}}{4L{U}_{0}}$…④
④式是正離子的軌跡方程，與正離子的質量和電荷量均無關，所以，不同正離子的軌跡是重合的．
（3）離開偏轉電場時x=L，且滿足y＜$\frac{L}{2}$時離子不打在極板上．臨界情況下有v_x=v_y
根據電勢能轉化為粒子動能，有$\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}=q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}=\frac{1}{2}q{U}_{1}$
從而可知U₁＜2U₀時，離子不打在極板上．
答：（1）離子從a板到探測器的飛行時間為$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$．
（2）證明如上所示．
（3）U₁＜2U₀時，離子不打在極板上．

點評 本題考查了電荷的加速與電荷的偏轉，關鍵將電荷的偏轉進行分解，知道在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律．解決該題關鍵要把動能定理、類平拋運動規(guī)律、牛頓運動定律及其相關結合解答．