Question

14．如圖，高h(yuǎn)、長(zhǎng)L的光滑絕緣正方形臺(tái)面上加有一豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在臺(tái)面右側(cè)接著一個(gè)與內(nèi)側(cè)邊線對(duì)齊、每板寬為d（＜$\frac{L}{2}$）的平行板電容器（電容器有光滑絕緣的底部），右板接電源的正極，左板接電源負(fù)極，現(xiàn)有質(zhì)量為m、電量為+q的一群粒子（視為質(zhì)點(diǎn)）從靠近右板在底部由靜止釋放，通過左板的小孔進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)一切阻力，重力加速度取g．

（1）若取電容器的電壓為U，求這些帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）若要求這些粒子都從臺(tái)面右側(cè)射出，則電容器的電壓應(yīng)滿足什么條件？
（3）在地面建立如圖坐標(biāo)系，當(dāng)U=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{32m}$時(shí)，畫出這些粒子落地時(shí)在這個(gè)坐標(biāo)系中的PQ連線．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理可求得帶電粒子離開電容器時(shí)的速度，再由洛侖力充當(dāng)向心力可求得粒子在磁場(chǎng)中的半徑；
（2）由幾何關(guān)系可得出最大半徑，則可求出最大電壓，分析粒子的運(yùn)動(dòng)可得出電壓的范圍；
（3）由已知電壓可得出粒子在磁場(chǎng)中的半徑，分析粒子到這位置，再根據(jù)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得粒了偏轉(zhuǎn)的位移．

解答 解：（1）在電容器中，根據(jù)動(dòng)能定理，有：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$       ①
在磁場(chǎng)中，根據(jù)洛侖茲力等于向心力，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$         ②
①②聯(lián)立得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為：$R=\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$    ③
（2）當(dāng)在電容器底部外側(cè)經(jīng)加速的粒子恰好能從臺(tái)面的外側(cè)相切射出時(shí)，粒子的半徑最大，如圖所示．
即${R}_{m}=\frac{L-d}{2}$                      ④
④代入③解得：${U}_{m}=\frac{（L-d）^{2}q{B}^{2}}{8m}$        ⑤
當(dāng)U＞0，在電容器內(nèi)側(cè)粒子，那怕不能一次在磁場(chǎng)中從臺(tái)面右側(cè)射出，也可以再進(jìn)入電容器減速至底部右側(cè)，又再重新加速進(jìn)入磁場(chǎng)，多周后也能從臺(tái)面右側(cè)射出．
故電容器的電壓滿足的條件為：$0＜{U}_{m}≤\frac{（L-d）^{2}q{B}^{2}}{8m}$．
（3）把$U=\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{32m}$代入③得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為：$R=\frac{L}{4}$．
說明當(dāng)粒子從電容器遠(yuǎn)側(cè)射入磁場(chǎng)時(shí)，粒子從臺(tái)面右側(cè)中點(diǎn)射出，當(dāng)粒子從電容器近側(cè)射入磁場(chǎng)時(shí)，粒子從臺(tái)面距中點(diǎn)為d處射出．         
粒子從臺(tái)面右側(cè)射出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的落地時(shí)間為t．
由$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
粒子水平位移x=vt=$\frac{qBL}{4m}\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
至此可作得這些粒子落地時(shí)的軌跡如右圖所示中的PQ連線．
答：（1）這些帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為$\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$；
（2）電容器的電壓應(yīng)滿足：$0＜{U}_{m}≤\frac{（L-d）^{2}q{B}^{2}}{8m}$．
（3）這些粒子落地時(shí)的軌跡如右圖所示中的PQ連線．

點(diǎn)評(píng) 本題為帶電粒子磁場(chǎng)及電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，要注意全面掌握粒子的運(yùn)動(dòng)情況，明確幾何關(guān)系及運(yùn)動(dòng)的合成與分解在解題中的應(yīng)用．