Question

如圖，ABCDE是由三部分絕緣光滑軌道平滑連接在一起組成的，AB為水平軌道，弧BCD是半徑為R的半圓弧軌道，O為其圓心．半徑為2R的圓弧軌道DE與弧BCD相切在軌道最高點(diǎn)D處，E、C、O三點(diǎn)位于同一高度，R=1m．整個(gè)裝置處在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)之中，電場(chǎng)強(qiáng)度E=10⁶N/C．靜止在A點(diǎn)處質(zhì)量m=0.4kg，電量q=3×10^-6 C的帶正電小球在電場(chǎng)力的作用下開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，小球恰能始終貼著圓弧軌道BCDE的內(nèi)側(cè)通過(guò)其最高點(diǎn)D后，從E點(diǎn)飛出．（g取10m/s²）求：
（1）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度及對(duì)軌道的作用力N；
（2）AB的距離d=？

Answer 1

分析：（1）先分別求出小球所受的重力和電場(chǎng)力，得到它們的合力F_合大小和方向．當(dāng)F_合方向恰好通過(guò)圓心O時(shí)，設(shè)此時(shí)小球的位置為Q點(diǎn)，當(dāng)小球通過(guò)Q點(diǎn)的瞬間與軌道間的彈力為0，根據(jù)牛頓第二定律列式求出小球通過(guò)Q點(diǎn)的速度．從B到Q，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求出小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓第二定律、第三定律求解小球?qū)�軌道的作用力�?br />（2）從A到B，運(yùn)用動(dòng)能定理求解d．

解答：解：（1）小球所受的電場(chǎng)力F=qE=3×10^-6 C×10⁶N/C=3N．
重力G=mg=0.4×10N=4N．故二力的合力大小為F_合=5N
方向與豎直方向成37°斜向下．
當(dāng)F_合方向恰好通過(guò)圓心O時(shí)，設(shè)此時(shí)小球的位置為Q點(diǎn)，如圖所示．
據(jù)題意，小球過(guò)Q點(diǎn)瞬間與軌道之間的彈力為0，由牛頓第二定律得
   F=m

v 2 Q

2R

解得，v_Q=5

R

從B到Q，由動(dòng)能定理得：-mg?2Rcos37°-qE?2Rsin37°=

1

2

m

v

2 Q

-

1

2

mv

2 B

解得，v_B=5

5

R
過(guò)B點(diǎn)瞬間，據(jù)牛頓第二定律得：N′-mg=m

v 2 B

R

解得，N′=34N
所以根據(jù)牛頓第三定律得，小球?qū)�軌道的作用力N=N′=34N，方向豎直向下．
（2）從A到B，運(yùn)用動(dòng)能定理得 qEd=

1

2

m

v

2 B

解得，d=5R
答：（1）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度是5

5

R，對(duì)軌道的作用力N是34N，方向豎直向下．；
（2）AB的距離d=5R．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是將重力和電場(chǎng)力合成后當(dāng)作一種全新的場(chǎng)力，然后左側(cè)等效場(chǎng)的最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律靈活列式求解．