Question

9．在科學(xué)研究中，可以通過加適當(dāng)?shù)拇艌?chǎng)來實(shí)現(xiàn)對(duì)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的控制．如圖甲所示的xoy平面處于磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)與xoy平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t做周期性變化，如圖乙所示．一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子（不計(jì)重力）以初速度v₀由O點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場(chǎng)．各物理滿足t₀=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$．

（1）若t=0時(shí)粒子射入磁場(chǎng)，求t=t₀時(shí)粒子的位置坐標(biāo)．
（2）若粒子的在某一時(shí)刻t′射入磁場(chǎng)，粒子不會(huì)穿越x軸，且其縱坐標(biāo)始終不超過某一定值y₀（y₀＞0），求t′和y₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角，根據(jù)幾何關(guān)系求出t=t₀時(shí)粒子的位置坐標(biāo)．
（2）粒子運(yùn)動(dòng)過程不穿越x軸，且縱坐標(biāo)不超過某一值，粒子運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度與x軸平行，作出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系，抓住粒子運(yùn)動(dòng)的周期性求出t′的大小，結(jié)合幾何關(guān)系求出y₀的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)t=t₀時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，周期為T，偏轉(zhuǎn)角為θ，則
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
$T=\frac{2πm}{qB}$，$θ=2π\(zhòng)frac{{t}_{0}}{T}$，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（x_p，y_p），
x_p=rsinθ，y_p=r（1-cosθ），
解得P（$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}$，$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$）    
（2）由題意可知，粒子運(yùn)動(dòng)過程不穿越x軸，且縱坐標(biāo)不超過某一值，粒子運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度與x軸平行，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可得
α=30°
由于粒子運(yùn)動(dòng)具有周期性，由圖可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的時(shí)間可以為$\frac{1}{2}{t}_{0}$、$\frac{1}{2}{t}_{0}+2{t}_{0}$、$\frac{1}{2}{t}_{0}+4{t}_{0}$…
即$t′=\frac{1}{2}{t}_{0}+2n{t}_{0}$   （n=0，1，2…）
由幾何關(guān)系可得
y₀=2r（1-cosα），
解得${y}_{0}=\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$．
答：（1）t=t₀時(shí)粒子的位置坐標(biāo)為P（$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}$，$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$）
（2）$t′=\frac{1}{2}{t}_{0}+2n{t}_{0}$ （n=0，1，2…），${y}_{0}=\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合半徑公式和周期公式，運(yùn)用幾何關(guān)系進(jìn)行求解，難度較大．