Question

7．如圖豎直放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距L=1m，在M點(diǎn)和P點(diǎn)間接一個(gè)阻值R=1Ω的電阻，在兩導(dǎo)軌間 OO₁O₁′O′矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面向里、寬為d=1m的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T．一質(zhì)量為m=0.2kg，電阻也為R=1Ω的導(dǎo)體棒ab垂直擱在導(dǎo)軌上，與磁場上邊邊界相距也為d=1m．現(xiàn)使ab棒由靜止開始釋放，棒ab在離開磁場前已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)（棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好的電接觸且下落過程中始終保持水平，導(dǎo)軌電阻不計(jì)）．求：
（1）棒ab在離開磁場下邊界時(shí)的速度；
（2）棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）ab棒在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件可以求出棒離開下邊界時(shí)的速度．
（2）由能量守恒定律可以求出金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）ab棒在磁場中先做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和加速度定義式結(jié)合求解時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)棒ab在離開磁場下邊界時(shí)的速度為v．導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=BLv
電路中的感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{2R}$
導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：mg-BIL=0，
解得：v=$\frac{2mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{2×0.2×10×1}{{1}^{2}×{1}^{2}}$=4m/s；
（2）設(shè)整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱是Q，由能量守恒定律可得：mg•d）=Q+$\frac{1}{2}$mv²，
棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱 Q_ab=$\frac{1}{2}$Q，
解得：Q_ab=mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$=1.2J
（3）棒ab剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度為：v₀=$\sqrt{2gd}$=2$\sqrt{5}$m/s
設(shè)棒ab在磁場中運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)加速度為a，則由于：mg-BIL=ma
又I=$\frac{BLv}{2R}$，a=$\frac{△v}{△t}$
可得：mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=m$\frac{△v}{△t}$
變形得：mg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v△t}{2R}$=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$mg△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v△t}{2R}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
得：mgt-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{2R}$=m（v-v₀）
代入解得：$t=\frac{{13-4\sqrt{5}}}{20}$≈0.2s   
答：（1）棒ab在離開磁場下邊界時(shí)的速度是4m/s；
（2）棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱是1.2J；
（3）ab棒在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是0.2s．

點(diǎn)評 本題最后一問要求非勻變速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，不能直接運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解答，而要運(yùn)用積分法求解，其切入點(diǎn)是牛頓第二定律和加速度定義式．