Question

8．關(guān)于物體在斜面上的運動，請回答以下問題．已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．

（1）如圖1所示，一個截面為直角三角形的斜面體C始終靜止在粗糙水平面上，物塊能在C的斜面上保持靜止，則物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ與斜面傾角α應(yīng)滿足什么關(guān)系？
（2）如圖2所示，兩個質(zhì)量均為m的小方塊A和B緊挨著一起沿斜面體C的斜面勻速下滑，C始終靜止在粗糙的地面上，A與B的接觸面是光滑的．已知A與C之間的動摩擦因數(shù)是B與C之間動摩擦因數(shù)的2倍，斜面的傾角為α，求B與C之間的動摩擦因數(shù)為多少？
②接①問，若將A、B對調(diào)位置，再同時由靜止釋放A、B，發(fā)現(xiàn)C依然能保持在地面不動，若C的質(zhì)量為M，求C與地面之間的動摩擦因數(shù)應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）物塊能在C的斜面上保持靜止，物塊的重力沿斜面向下的分力不大于最大靜摩擦力，由摩擦力公式列式求解．
（2）A、B一起沿斜面體C的斜面勻速下滑，合力均為零，以整體為研究對象，由平衡條件和摩擦力公式結(jié)合求解．若將A、B對調(diào)位置，對C研究，由平衡條件和摩擦力公式結(jié)合解答．

解答 解：（1）物塊能在C的斜面上保持靜止，則應(yīng)滿足：mgsinα≤μmgcosα
可得 μ≥tanα
（2）設(shè)B與C之間的動摩擦因數(shù)為μ₁，則A與C之間的動摩擦因數(shù)是2μ₁．
A、B一起沿斜面體C的斜面勻速下滑時，則有：
2mgsinα=μ₁mgcosα+2μ₁mgcosα
則：μ₁=$\frac{2}{3}tanα$
若將A、B對調(diào)位置，對A，由于2μ₁mgcosα=$\frac{4}{3}$mgsinα＞mgsinα，故A靜止在C上．
對B，由于μ₁mgcosα=$\frac{2}{3}$mgsinα＜mgsinα，故B在C上下滑．
以C為研究對象，分析受力如圖．
A、B對C的壓力大小為 N₁=N₂=mgcosα，A對C的靜摩擦力 f₁=mgsinα，B對C的滑動摩擦力 f₂=μ₁mgcosα=$\frac{2}{3}$mgsinα
因為（N₁+N₂）sinα=2mgcosαsinα，（f₁+f₂）cosα=$\frac{5}{3}$mgcosαsinα，則C相對于地面有向左運動的趨勢，地面對C的摩擦力水平向右，大小為 f=（N₁+N₂）sinα-（f₁+f₂）cosα=$\frac{1}{3}$mgcosαsinα
地面與C間的最大靜摩擦力 f_m=μ[Mg+（N₁+N₂）cosα+（f₁+f₂）sinα]
要使C依然能保持在地面不動，必須有 f≤f_m，解得：
  μ≥$\frac{mgsinαcosα}{3Mg+6mgco{s}^{2}αsinα+5mgcosαsi{n}^{2}α}$
答：
（1）物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ與斜面傾角α應(yīng)滿足為μ≥tanα；
（2）B與C之間的動摩擦因數(shù)為$\frac{2}{3}tanα$；
（3）要使C依然能保持在地面不動，C與地面之間的動摩擦因數(shù)應(yīng)滿足的條件是
   μ≥$\frac{mgsinαcosα}{3Mg+6mgco{s}^{2}αsinα+5mgcosαsi{n}^{2}α}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要判斷物體的狀態(tài)，明確物體剛要滑動的條件，并要靈活選取研究對象，結(jié)合平衡條件解答．