Question

18．如圖，帶等量異種電荷的金屬板平行正對傾斜放置，金屬板與水平方向的夾角為θ，金屬板長為L，一電荷量為q、質量為m的帶負點微粒從下板邊緣的A點以水平速度v₀進入兩板間，沿直線到達上板邊緣的B點，隨即進入一圓形區(qū)域．圓形區(qū)域與金屬板間電場不重疊，該區(qū)域內有重疊的勻強電場和勻強磁場（圖中電場未畫出），微粒在此區(qū)域內做勻速圓周運動，并豎直向下穿出該區(qū)域．已知區(qū)域內勻強磁場的磁感應強度為B，重力加速度為g，試求：
（1）微粒進入圓形區(qū)域時的速度v；
（2）圓形區(qū)域內勻強電場的場強E的大小和方向；
（3）微粒在圓形區(qū)域做勻速圓周運動的時間t；
（4）在圓形區(qū)域的運動過程中，微粒機械能的變化量△E．

Answer 1

分析 （1）微粒受電場力和重力作用下沿AB勻加速運動，根據(jù)運動學規(guī)律求解微粒進入圓形區(qū)域的速度大小；
（2）微粒在圓形區(qū)域內勻速圓周運動，微粒所受合力提供圓周運動向心力，故可知微粒所受重力與電場力平衡，洛倫茲力提供圓周運動向心力，據(jù)此求電場強度的大小和方向；
（3）根據(jù)粒子圓周運動由速度方向的變化確定圓周運動轉過的圓心角，根據(jù)周期求得粒子運動的時間；
（4）由微粒圓周運動的軌跡求得微粒豎直方向下落的高度，運動過程中只有電場力做功和重力做功，故機械能的減小量等于電場力對微粒所做的功．

解答 解：（1）微粒在平行板間做勻加速直線運動
mgtanθ=ma
根據(jù)運動學公式有：
$2a{x}_{AB}={v}^{2}-{v}_{0}^{2}$
由圖可知，${x}_{AB}=\frac{L}{cosθ}$
可得微粒進入圓形區(qū)域的速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}$
（2）微粒在磁場中做勻速圓周運動，有電場力和重力平衡
qE=mg
可得電場強度E=$\frac{mg}{q}$，因為微粒帶負電，所以場強的方向豎直向下；
（3）微粒做勻速圓周運動的周期$T=\frac{2πm}{qB}$
微粒在磁場運動轉過圓心角$θ=\frac{π}{2}$
所以微粒在磁場中運動的時間t=$\frac{θ}{2π}T=\frac{\frac{π}{2}}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$
（4）粒子機械能的減少量
△E=-qEh
根據(jù)粒子在磁場中運動軌跡可知，微粒下落距離h=R
根據(jù)洛倫茲力提供圓周運動向心力有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得微粒損失的機械能
△E=$-\frac{{m}^{2}g\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}}{qB}$
答：（1）微粒進入圓形區(qū)域時的速度v為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}$；
（2）圓形區(qū)域內勻強電場的場強E的大小為$\frac{mg}{q}$方向豎直向下；
（3）微粒在圓形區(qū)域做勻速圓周運動的時間t為$\frac{πm}{2qB}$；
（4）在圓形區(qū)域的運動過程中，微粒機械能的變化量△E為$-\frac{{m}^{2}g\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}}{qB}$．

點評 本題考查了帶電粒子在復合場中的運動，畫出運動軌跡是正確解題的前提，并熟練掌握周期公式和半徑公式是解題的關鍵．