Question

7．行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的衛(wèi)星的周期是T，試證明ρT²為一個(gè)常數(shù)$\frac{3π}{G}$．

Answer 1

分析 該題中行星的平均密度是ρ，結(jié)合星球表面飛行的衛(wèi)星萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，由此分析即可．

解答 解：令星球的半徑為R，則星球的質(zhì)量M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，靠近行星表面飛行的衛(wèi)星由萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
即：$G\frac{m•ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
整理可得$ρ{T}^{2}=\frac{3π}{G}$
即ρT²為一常數(shù)得證．
故答案為：$\frac{3π}{G}$

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合行星的平均密度是ρ與質(zhì)量的關(guān)系，考查萬有引力定律的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力，再根據(jù)已知條件進(jìn)行分析證明．