Question

11．如圖所示，讓擺球從圖中的C點(diǎn)由靜止開(kāi)始擺下，擺到最低點(diǎn)D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點(diǎn)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A孔進(jìn)入半徑R=0.3m的豎直放置的光滑圓弧軌道，當(dāng)擺球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔．已知擺線長(zhǎng)L=2m，θ=60°，小球質(zhì)量為m=0.5kg，D點(diǎn)與小孔A的水平距離s=2m，g取10m/s²．試求：
（1）求擺線能承受的最大拉力為多大？
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，求粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍？

Answer 1

分析 （1）對(duì)CD段運(yùn)用動(dòng)能定理，求出小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律，通過(guò)拉力和重力的合力提供向心力求出繩子的拉力．
（2）首先找出進(jìn)入圓弧的臨界條件，再據(jù)動(dòng)能定理求摩擦因數(shù)μ的范圍．?dāng)[球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道有兩種情況：一種能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．另一種在下半個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng)．

解答 解（1）對(duì)CD段，由動(dòng)能定理，得：mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
擺球第一次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，擺線的拉力最大，由牛頓第二定律得：T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
代入數(shù)據(jù)解得：T=10N
由牛頓第三定律知，擺線能承受的最大拉力為10N．
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道，所以到達(dá)A點(diǎn)的速度大于零，據(jù)動(dòng)能定理得：
-μ₁mgs=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：μ₁=0.5
若小球進(jìn)入圓軌道且最高不超過(guò)與圓心等高處，所以在等高處最大速度為零，再據(jù)動(dòng)能定理得：
-μ₂mgs-mgR=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
 代入數(shù)據(jù)解得：μ₂=0.35
以上可知，使擺球能進(jìn)入圓軌道且最高不超過(guò)與圓心等高處，小球與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)0.35≤μ＜0.5．
若小球進(jìn)入圓軌道能通過(guò)最高點(diǎn)，臨界情況有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
從D到圓周最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
-μ₃mgs-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：μ₃=0.125
綜上所以摩擦因數(shù)μ的范圍為：0.35≤μ＜0.5或者μ≤0.125 
答：（1）擺線能承受的最大拉力為10N．
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍為0.35≤μ＜0.5或者μ≤0.125．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，運(yùn)用動(dòng)能定理解題，關(guān)鍵確定研究的過(guò)程，分析過(guò)程中有哪些力做功，結(jié)合動(dòng)能定理列式研究．