Question

18．如圖所示，一絕緣?形彎桿由兩段直桿PQ、MN和一半徑為R的半圓環(huán)連接組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)，PQ、MN水平且足夠長(zhǎng)，半圓環(huán)MAP段是光滑的，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小環(huán)套在MN桿上．且小環(huán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終受到一個(gè)大小為$\frac{3}{4}$mg的水平向左的恒力作用．小環(huán)與PQ、MN間動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.25，現(xiàn)使小環(huán)在距離M點(diǎn)右側(cè)2R的D點(diǎn)以某一初速度向左運(yùn)動(dòng)，小環(huán)剛好能到達(dá)P點(diǎn)，求：
（1）小球在D點(diǎn)的初速度大小v₀；
（2）若將小環(huán)移至M點(diǎn)右側(cè)6R處由靜止開(kāi)始釋放（設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等），小環(huán)第一次通過(guò)與O等高的A點(diǎn)時(shí)對(duì)彎桿的作用力大��；
（3）若小環(huán)仍從距M點(diǎn)右側(cè)6R處由靜止釋放，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在水平桿上運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析 （1）小環(huán)從D至P過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，即可求解；
（2）小環(huán)由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到A的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，求出小環(huán)通過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度；對(duì)小環(huán)在A點(diǎn)受力分析由牛頓第二定律及牛頓第三定律即可求解；
（3）小環(huán)最終在M點(diǎn)左側(cè)與OM成74°圓弧內(nèi)運(yùn)動(dòng)，對(duì)整個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）因小環(huán)剛好能到達(dá)P點(diǎn)，則v_P=0，由動(dòng)能定理得：
$\frac{3}{4}$mg•2R-mg•2R-μmg•2R=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$
（2）在小環(huán)由M點(diǎn)到A點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
$\frac{3}{4}$mg•7R-mg•R-μmg•6R=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N-$\frac{3}{4}$mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：N=$\frac{25}{4}$mg
根據(jù)牛頓第三定律知，小環(huán)第一次通過(guò)與O等高的A點(diǎn)時(shí)對(duì)彎桿的作用力大小為：N′=N=$\frac{25}{4}$mg
（3）小環(huán)最終在M點(diǎn)左側(cè)與OM成74°圓弧內(nèi)運(yùn)動(dòng)，對(duì)整個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理得：$\frac{3}{4}$mg•6R-μmgS=0
可得小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在水平桿上運(yùn)動(dòng)的總路程為：S=18R
答：（1）小球在D點(diǎn)的初速度大小v₀為$\sqrt{2gR}$．
（2）小環(huán)第一次通過(guò)與O等高的A點(diǎn)時(shí)對(duì)彎桿的作用力大小為$\frac{25}{4}$mg．
（3）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在水平桿上運(yùn)動(dòng)的總路程為18R．

點(diǎn)評(píng) 要正確分析小環(huán)最終的狀態(tài)，根據(jù)動(dòng)能定理列出表達(dá)式求解．運(yùn)用動(dòng)能定理解題需合適地選取研究的過(guò)程，要明確滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)．