Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半 徑R=0.9m、圓心角為60°的光滑圓弧 軌道PM，圓弧軌道最底端M處平滑 連接一長(zhǎng)s=3m的粗糙平臺(tái)MN，質(zhì) 量分別為m_A=4kg，m_B=2kg的物塊 A，B靜置于M點(diǎn)，它們中間夾有長(zhǎng) 度不計(jì)的輕質(zhì)彈簧，彈簧與A連結(jié)，與B不相連，用細(xì)線拉緊A、B使彈簧處于壓縮狀態(tài)．N端有一小球C，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕 繩懸吊，對(duì)N點(diǎn)剛好無壓力．現(xiàn)燒斷細(xì)線，A恰好能從P端滑出，B與C碰后總是交換速度．A、B、C均可視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²，問：
（1）A剛滑上圓弧時(shí)對(duì)軌道的壓力為多少？
（2）燒斷細(xì)線前系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為多少？
（3）若B與C只能碰撞2次，B最終仍停在平臺(tái)上，整個(gè)過程中繩子始終不松弛，求B與 平臺(tái)間動(dòng)摩擦因數(shù)?的范圍及?取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的繩長(zhǎng)L．

Answer 1

（1）A在上滑過程中機(jī)械能守恒，有

1

2

m

v

2A

=mgR（1-cos60°）
v_A=3m/s
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律 
N-m_Ag=m_A

v 2A

R

N=80N
由牛頓第三定律得，A對(duì)圓弧的壓力為80N，方向豎直向下．
（2）由動(dòng)量守恒得：
m_Av_A=m_Bv_B
由能量守恒得
E_p=

1

2

m_A

v

2A

+

1

2

m_B

v

2B

得：E_p=54J
（3）因B、C碰后速度交換，B靜止，C做圓周運(yùn)動(dòng)，繩子不能松弛，一種情況是越過最高點(diǎn)，繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，
與B碰撞，B一定離開平臺(tái)，不符合要求．另一種情況是C做圓周運(yùn)動(dòng)不超過

1

4

圓周，返回后再與B發(fā)生碰撞．               
B剛好能與C發(fā)生第一次碰撞
0-

1

2

m_B

v

2B

=-μm_Bgs
   解得 μ=0.6
   依題意有   μ＜0.6
B與C剛要發(fā)生第三次碰撞，則
0-

1

2

m_B

v

2B

=-3μm_Bgs
  解得  μ=0.2
   依題意有  μ＞0.2
B與C發(fā)生兩次碰撞后不能從左側(cè)滑出
0-

1

2

m_B

v

2B

=-2μm_Bgs-m_BgR（1-cos60°）
解得 μ=0.225
   依題意有 μ≥0.225
綜上所得   0.225≤μ＜0.6                        
取μ=0.225，B與C碰撞后，C的速度最大，要繩不松弛，有：

1

2

m_B

v

2B1

-

1

2

m_B

v

2B

=-μm_Bgs
v_B1=v_C

1

2

m_C

v

2C

=m_CgL
解得：L=1.125m
依題意：L≤1.125m
答：（1）A剛滑上圓弧時(shí)對(duì)軌道的壓力為80N
（2）燒斷細(xì)線前系統(tǒng)的彈性勢(shì)能是54J
（3）若B與C只能碰撞2次，B最終仍停在平臺(tái)上，整個(gè)過程中繩子始終不松弛，B與平臺(tái)間動(dòng)摩擦因數(shù)?的范圍是 0.225≤μ＜0.6，
?取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的繩L=1.125m．