Question

7．如圖所示，寬為L(zhǎng)=2m，足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌MN和M′N(xiāo)′放在傾角為θ=30°的斜面上，在N和N′之間連有一個(gè)1.6Ω的電阻R．在導(dǎo)軌上AA′處放置一根與導(dǎo)軌垂直、質(zhì)量為m=0.8kg的金屬滑桿，導(dǎo)軌和滑桿的電阻均不計(jì)．用輕繩通過(guò)定滑輪將電動(dòng)小車(chē)與滑桿的中點(diǎn)相連，繩與滑桿的連線平行于斜面，開(kāi)始時(shí)小車(chē)位于滑輪的正下方水平面上的P處（小車(chē)可視為質(zhì)點(diǎn)），滑輪離小車(chē)的高度H=4.0m．在導(dǎo)軌的NN′和OO′所圍的區(qū)域存在一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T、方向垂直于斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，此區(qū)域內(nèi)滑桿和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此區(qū)域外導(dǎo)軌是光滑的（取g=10m/s²）．求：

（1）若電動(dòng)小車(chē)沿PS以v=1.2m/s的速度勻速前進(jìn)時(shí)，滑桿經(jīng)d=1m的位移由AA′滑到OO′位置，通過(guò)電阻R的電量q為多少？
（2）若電動(dòng)小車(chē)沿PS以v=1.2m/s的速度勻速前進(jìn)時(shí)，滑桿通過(guò)OO′位置時(shí)的速度大小為多少？
（3）若滑桿運(yùn)動(dòng)到OO′位置時(shí)繩子突然斷了，設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，若滑桿沿導(dǎo)軌上滑速度減為零后繼續(xù)下滑到AA′后恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求從斷繩到滑桿回到AA′位置過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q為多少？（保留2位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）金屬棒從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式可求出上滑的位移．由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、由歐姆定律求出電流、由電流定義式的變形公式求出電荷量．
（2）由速度公式求出金屬棒通過(guò)CC′時(shí)的速度大小v，此時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由牛頓第二定律求出加速度．
（3）由平衡條件求出滑桿的速度，由能量守恒定律求出產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLd}{△t}$，感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R+r}$，電荷量：q=I△t，
代入數(shù)據(jù)解得：q=1.25C；
（2）滑桿運(yùn)動(dòng)到OO′位置時(shí)，小車(chē)通過(guò)S點(diǎn)時(shí)的速度為v=1.0m/s
設(shè)系繩與水平面的夾角為α，則滑桿：$\frac{H}{sinα}$-H=d，sinα=0.8，α=53°，
此時(shí)向上的速度即繩端沿繩長(zhǎng)方向的速度：v₁=vcosα=0.6m/s．
滑桿運(yùn)動(dòng)到OO’位置產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv₁，產(chǎn)生感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R+r}$，
受到的安培力F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}$，代入數(shù)據(jù)，可得：F_安=1.5N．
滑桿通過(guò)OO′位置時(shí)所受摩擦力為：f=μmgcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×0.8×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3N．
由牛頓第二定律得：F-mgsinθ-f-F_安=ma，
解得加速度：a=2m/s²．
（3）設(shè)滑桿返回運(yùn)動(dòng)到AA'位置后做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v₂，由平衡條件得：
mgsinθ=μmgcosθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$，
帶入數(shù)據(jù)，可得：v₂=0.4m/s，
由能量守恒定律得：Q=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²+mgdsinθ-μmgdcosθ，
帶入數(shù)據(jù)，可得Q=1.08J，Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，
解得：Q_R=0.81J．
答：（1）通過(guò)電阻R的電量q為1.25C；
（2）滑桿通過(guò)OO′位置時(shí)的加速度大小為2m/s²；
（3）從斷繩到滑桿回到AA′位置過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q為0.81J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道電磁感應(yīng)與力學(xué)、電學(xué)相結(jié)合的綜合體，考查了求加速度、電阻產(chǎn)生的熱量，分析清楚滑桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解、E=BLv、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律、平衡條件、能量守恒定律即可正確解題；求R產(chǎn)生的熱量時(shí)要注意，系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量為R與r產(chǎn)生的熱量之和．