Question

如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點(diǎn)A。一質(zhì)量為m的小球在水平地面上的C點(diǎn)受水平向左的恒力F由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)撤去恒力F，小球沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B點(diǎn)，最后又落在水平地面上的D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）。已知A、C間的距離為L(zhǎng),重力加速度為g。

（1）若軌道半徑為R，求小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N;
（2）為使小球能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，求軌道半徑的最大值R_m；
（3）軌道半徑R多大時(shí)，小球在水平地面上的落點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離最大？最大距離x_m是多少？

Answer 1

（1），方向豎直向上 （2） （3） 

試題分析：（1）設(shè)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為，根據(jù)動(dòng)能定理有

設(shè)B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的壓力為，對(duì)小球在B點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析如圖，則有


根據(jù)牛頓第三定律可知小球?qū)�軌道的壓�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408241541266331061.png" style="vertical-align:middle;" />，方向豎直向上
（2）小球能夠到達(dá)最高點(diǎn)的條件是
故軌道半徑的最大值
（3）從B點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，落地時(shí)間
D到A的距離
相當(dāng)于二次函數(shù)求最大值的問(wèn)題，最大值在時(shí)取到
（因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824154127616884.png" style="vertical-align:middle;" />，所以最大值可以取得到）
代入，得到此時(shí)最大距離
點(diǎn)評(píng)：小球在最高點(diǎn)時(shí)合外力等于向心力，過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件是小球?qū)�軌道的壓力為零，即重力等于向心力�?/div>