Question

10．如圖所示，圓形光滑軌道在豎直平面內，圓半徑為R，質量為m的小圓環(huán)套在軌道上可以自由滑動，以下說法正確的是（　�。�
（1）要使小環(huán)通過最高點，小環(huán)在最低點的速度應大于$\sqrt{5gR}$
（2）要使小環(huán)通過最高點，小環(huán)在最低點的速度應大于$\sqrt{4gR}$
（3）如果小環(huán)在最高點時速度小于$\sqrt{gR}$，則小環(huán)擠壓軌道外側
（4）如果小環(huán)在最高點時速度大于$\sqrt{gR}$，則小環(huán)擠壓軌道外側．

• A． 只有（1）
• B． 只有（1）、（3）
• C． 只有（2）、（3）
• D． 只有（2）、（4）

Answer 1

分析 小環(huán)經過圓環(huán)最高點時最小速度為零，過最高點時，小環(huán)套在光滑大圓環(huán)軌道上，大環(huán)可以對小環(huán)產生向下的壓力，也可以產生向上的壓力，也可以沒有作用力；當大環(huán)對小環(huán)的彈力為零，靠重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出最高點的最小速度，分析軌道對小環(huán)的作用力方向．

解答 解：（1）、（2）小環(huán)恰好通過最高點時，小環(huán)在最高點的速度為0，由機械能守恒定律得：
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得 v=2$\sqrt{gR}$
故小環(huán)在最低點的速度應大于2$\sqrt{gR}$，故（1）錯誤，（2）正確．
（3）如果小環(huán)在最高點時速度等于$\sqrt{gR}$，重力等于向心力，軌道對小環(huán)的作用力為零，如果小環(huán)在最高點時速度小于$\sqrt{gR}$，向心力小于重力，則軌道對小環(huán)有向上的支持力，由牛頓第三定律知小環(huán)對軌道有向下的壓力，即小環(huán)擠壓軌道外側，故（3）正確．
（4）如果小環(huán)在最高點時速度大于$\sqrt{gR}$，向心力大于重力，則軌道對小環(huán)有向下的作用力，由牛頓第三定律知小環(huán)對軌道有向上的支持力，即小環(huán)擠壓軌道內側，故（4）錯誤．
故選：C

點評 本題要注意，小環(huán)套在大環(huán)上，與輕桿模型類似，不是小球在軌道內側的運動，臨界條件不一樣．大環(huán)可以對小環(huán)產生向下的壓力，也可以產生向上的壓力，也可以沒有作用力，結合牛頓第二定律和機械能守恒定律結合進行分析．