Question

3．如圖所示，半徑R=1.0m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個端點B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ=37°，另一端點C為軌道的最低點．C點右側(cè)的水平路面上緊挨C點放置一木板，木板質(zhì)量M=1kg，上表面與C點等高．質(zhì)量m=1kg的物塊 （可視為質(zhì)點）從空中A點以v₀=1.2m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道．已知物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.2，木板與路面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.05，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，取g=10m/s²，設(shè)木板受到的最大靜摩擦力跟滑動摩擦力相等．試求：
（1）物塊經(jīng)過軌道上的B點時的速度大��；
（2）物塊經(jīng)過軌道上的C點時對軌道的壓力；
（3）木板至少多長才能使物塊不從木板上滑下？
（4）若木板足夠長，請問從開始平拋至最終木板、物塊都靜止，整個運動過程中，物塊與木板間產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？木板與地面間產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？共產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？

Answer 1

分析 （1）物塊從A到B做平拋運動，由速度分解即可求得經(jīng)過B點時的速度大��；
（2）物塊從A到B做平拋運動，由平拋規(guī)律可求得B點的速度；由機械能守恒可求得C點的速度；由向心力公式可求得物塊在C點受到的支持力，由牛頓第三定律可求得對軌道的壓力；
（3）由牛頓第二定律可求得物塊和木板的加速度，要使物塊不掉下去，兩物體最后應(yīng)達到相同速度并且剛好到達最右端，由運動學公式可求得木板的長度．
（4）運用運動學公式求出物塊和木板對地的位移，根據(jù)相對位移求物塊與木板間產(chǎn)生的內(nèi)能．根據(jù)木板對地的位移求木板與地面間產(chǎn)生的內(nèi)能．

解答 解：（1）物塊從A到B做平拋運動，根據(jù)物塊經(jīng)過B點的速度和豎直方向的夾角為θ，根據(jù)運動的分解知：
v_B=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=$\frac{1.2}{0.6}$=2m/s
（2）從B到C應(yīng)用動能定理有：
mg（R+Rsinθ）=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v_C=6m/s
在C點，由牛頓第二定律有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N=46N                       
由牛頓第三定律知，物塊經(jīng)過圓軌道上的C點時對軌道的壓力為46N；
（3）物快在木板上滑動時，設(shè)物塊和木板的加速度大小分別為a₁、a₂，
則由牛頓第二定律，
對物塊有：μ₁mg=ma₁
對木板有：μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：a₁=2m/s²，a₂=1m/s²；
設(shè)物快和木板經(jīng)過時間t達到共同速度v，其位移分別為．S₁、S₂，則：
對物塊：v=v_C-a₁t
對木板：v=a₂t
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：t=2s，v=2m/s
設(shè)木板長度至少為L
時間t內(nèi)物塊的位移：S₁=$\frac{{v}_{C}+v}{2}$t=8m
時間t內(nèi)木板的位移：S₂=$\frac{v}{2}$t=2m
由題意得：L≥S₁-S₂=6m
即木板長度至少6m才能使物塊不從木板上滑下．
（4）設(shè)物塊與木板速度相同一起滑行的距離為S₃．則它們共同的加速度大小為：
a₃=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g}{M+m}$=0.5m/s²；  
S₃=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}$=$\frac{{2}^{2}}{2×0.5}$=4m
所以，整個運動過程中，物塊與木板間產(chǎn)生的內(nèi)能為：Q₁=μ₁mgL=12J
木板與地面間產(chǎn)生的內(nèi)能為：Q₂=μ₂（M+m）g（S₂+S₃）=6J
共產(chǎn)生的內(nèi)能為：Q=Q₁+Q₂=18J
答：（1）物塊經(jīng)過軌道上的B點時的速度大小是2m/s；
（2）物塊經(jīng)過軌道上的C點時對軌道的壓力是46N；
（3）木板至少6m長才能使物塊不從木板上滑下；
（4）整個運動過程中，物塊與木板間產(chǎn)生的內(nèi)能為12J，木板與地面間產(chǎn)生的內(nèi)能為6J，共產(chǎn)生的內(nèi)能為18J．

點評 本題考查了牛頓第二定律和運動學公式的綜合，關(guān)鍵能夠正確地受力分析，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式進行求解，知道加速度是聯(lián)系力學和運動學的橋梁．第三問中整個過程產(chǎn)生的內(nèi)能也可以根據(jù)能量守恒定律求：Q=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=18J．