Question

如圖所示，圓心在O點(diǎn)、半徑為R的圓弧支架豎直放置，支架底邊ab離地距離為4R，Oc與Oa夾角為60°，圓弧邊緣c處有一小滑輪，圓弧邊緣a處切線水平；一輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m₁和m₂的小球，掛在定滑輪兩邊．開始時，m₁和m₂均靜止，且都可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切摩擦，求：
①為使m₁能夠沿圓弧下滑到a點(diǎn)，m₁和m₂之間必須滿足什么關(guān)系（連線足夠長，此時m₂沒有到達(dá)c點(diǎn)）？
②已知m₁=3m₂，若m₁到達(dá)圓弧最低點(diǎn)a時（此時m₂沒有到達(dá)c點(diǎn)），繩子恰好與m₁斷開，則m₁落地點(diǎn)離a點(diǎn)的水平距離是多少？

Answer 1

分析：①兩物體組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出兩者的關(guān)系；
②由機(jī)械能守恒定律求出m₁的速度，繩子斷裂后m₁做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動知識可以求出落地點(diǎn)的距離．

解答：解：①為使m₁能夠沿圓弧下滑到a點(diǎn)，則m₁滑到a點(diǎn)時的速度恰好為零．
由m₁和m₂組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
m₁gR（1-cos60°）-m₂gR=0，解得：m₁=2m₂，
m₁≥2m₂時，可使m₁能夠沿圓弧下滑到a點(diǎn)．
②由速度分解，v₂=v₁cos30°，
由m₁和m₂組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
m₁gR（1-cos60°）-m₂gR=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²；
解得：v₁=

4gR 15

；                                    
繩子斷裂后，m₁做平拋運(yùn)動：
豎直方向：4R=

1

2

gt²，水平方向：x=v₁t，
解得：x=4

2 15

R；
答：：①為使m₁能夠沿圓弧下滑到a點(diǎn)，m₁和m₂之間必須滿足什么關(guān)系為m₁≥2m₂；
②m₁落地點(diǎn)離a點(diǎn)的水平距離是4

2 15

R．

點(diǎn)評：分析清楚運(yùn)動過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律即可正確解題，解題時注意速度的分解．