Question

圖（a）所示的裝置中，小物塊AB質(zhì)量均為m，水平面上PQ段長(zhǎng)為l，與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其余段光滑．初始時(shí)，擋板上的輕質(zhì)彈簧處于原長(zhǎng)；長(zhǎng)為r的連桿位于圖中虛線位置；A緊靠滑桿（AB間距大于2r）．隨后，連桿以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)滑桿做水平運(yùn)動(dòng)，滑桿的速度-時(shí)間圖象如圖（b）所示．A在滑桿推動(dòng)下運(yùn)動(dòng)，并在脫離滑桿后與靜止的B發(fā)生完全非彈性碰撞．

（1）求A脫離滑桿時(shí)的速度v₀，及A與B碰撞過(guò)程的機(jī)械能損失△E．
（2）如果AB不能與彈簧相碰，設(shè)AB從P點(diǎn)到運(yùn)動(dòng)停止所用的時(shí)間為t₁，求ω的取值范圍，及t₁與ω的關(guān)系式．
（3）如果AB能與彈簧相碰，但不能返回到P點(diǎn)左側(cè)，設(shè)每次壓縮彈簧過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能為E_p，求ω的取值范圍，及E_p與ω的關(guān)系式（彈簧始終在彈性限度內(nèi)）．

Answer 1

分析：（1）滑桿達(dá)到最大速度時(shí)A與其脫離，則v₀=ωr，碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出碰撞后的速度，碰撞過(guò)程中的機(jī)械能損失等于初動(dòng)能減去末動(dòng)能；
（2）若AB不與彈簧相碰，P到Q過(guò)程，由動(dòng)能定理即可求解AB運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的連桿角速度，進(jìn)而求出范圍，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解時(shí)間；
（3）若AB壓縮彈簧后反彈，由動(dòng)能定理聯(lián)立方程即可求得AB剛好反彈回P點(diǎn)的連桿角速度，進(jìn)而求出范圍，再由功能關(guān)系即可求解．

解答：（1）滑桿達(dá)到最大速度時(shí)A與其脫離．由題意，得：
v₀=ωr…①
設(shè)AB碰撞后的共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律
mv₀=2mv₁…②
碰撞過(guò)程中的機(jī)械能損失為
△E=

1

2

mv02-

1

2

（2m）v₁²…③
△E=

1

4

mω²r²…④
（2）若AB不與彈簧相碰，P到Q過(guò)程，由動(dòng)能定理，得
μ（2m）gl=

1

2

（2m）v₁²…⑤
聯(lián)立①②⑤，得對(duì)應(yīng)AB運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的連桿角速度ω₁
ω₁=

2 2μgl

r

…⑥
ω的取值范圍：0＜ω≤

2 2μgl

r

…⑦
設(shè)AB在PQ段加速度大小為a，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，得：
v₁=at₁…⑧
μ（2m）g=2ma…⑨
聯(lián)立①②⑧⑨，得：
t₁=

ωr

2μg

，（0＜ω≤

2 2μgl

r

）
（3）若AB壓縮彈簧后反彈，由動(dòng)能定理，得：
μ（2m）g（l+l）=

1

2

（2m）v₁²
聯(lián)立①②，得對(duì)應(yīng)AB剛好反彈回P點(diǎn)的連桿角速度ω₂
ω₂=

4 μgl

r

ω的取值范圍：

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

由功能關(guān)系：E_p=

1

2

（2m）v₁²-μ（2m）gl
得：E_p=

1

4

mω²r²-2μmgl，（

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

）
答：（1）A脫離滑桿時(shí)的速度為ωr，A與B碰撞過(guò)程的機(jī)械能損失△E為=

1

4

mω²r²．
（2）如果AB不能與彈簧相碰，設(shè)AB從P點(diǎn)到運(yùn)動(dòng)停止所用的時(shí)間為t₁，ω的取值范圍為0＜ω≤

2 2μgl

r

，t₁與ω的關(guān)系式為t₁=

ωr

2μg

，（0＜ω≤

2 2μgl

r

）．
（3）如果AB能與彈簧相碰，但不能返回到P點(diǎn)左側(cè)，設(shè)每次壓縮彈簧過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能為E_p，ω的取值范圍為

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

，E_p與ω的關(guān)系式為E_p=

1

4

mω²r²-2μmgl，（

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

）（彈簧始終在彈性限度內(nèi)）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)能定理、功能關(guān)系、動(dòng)量守恒定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的應(yīng)用，計(jì)算量大，難度很大．