Question

3．如圖所示，質(zhì)量為m的小球被系在輕繩的一端，以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動．運動過程中，小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某時刻小球通過圓周的最低點A，此時繩子的張力為10mg，此后小球繼續(xù)做圓周運動，經(jīng)過半個圓周恰能通過最高點B．
（1）小球經(jīng)過B點時的速度為多少？動能為多少？
（2）小球經(jīng)過A點時的速度為多少？動能為多少？
（3）從位置A運動到位置B的過程中，重力做功是多少？
（4）從位置A運動到位置B的過程中，動能變化了多少？外力對物體所做的總功為多少？
（5）從位置A運動到位置B的過程中，空氣阻力對小球做了多少功？小球克服空氣阻力做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）恰能通過最高點B，則有mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$求出速度，根據(jù)動能表達式求解動能；
（2）根據(jù)牛頓運動定律求解速度，根據(jù)動能表達式求解動能；
（3）重力做功W=mgh
（4）動能變化△E_k=E_kB-E_kA，根據(jù)動能定理知外力對物體所做的總功為W_總=△E_k．
（5）從位置A運動到位置B的過程中，W_總=W_G+W_f知阻力做功．

解答 解：（1）恰能通過最高點B，則有：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
動能為：E_kB=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgR
（2）小球通過圓周的最低點A，此時繩子的張力為10mg，根據(jù)牛頓運動定律知：
F-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=3$\sqrt{gR}$
動能為：E_kA=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{9}{2}mgR$
（3）從位置A運動到位置B的過程中，重力做功為：W_G=-mg•2R=-2mgR
（4）從位置A運動到位置B的過程中，動能變化為：△E_k=E_kB-E_kA=-4mgR
根據(jù)動能定理知外力對物體所做的總功為：W_總=△E_k=-4mgR
（5）從位置A運動到位置B的過程中，有：W_總=W_G+W_f
空氣阻力對小球做功為：W_f=-2mgR，
即小球克服空氣阻力做的功是2mgR．
答：（1）小球經(jīng)過B點時的速度為$\sqrt{gR}$，動能為$\frac{1}{2}$mgR；
（2）小球經(jīng)過A點時的速度為3$\sqrt{gR}$，動能為$\frac{9}{2}$mgR；
（3）從位置A運動到位置B的過程中，重力做功是-2mgR；
（4）從位置A運動到位置B的過程中，動能變化了-4mgR，外力對物體所做的總功為-4mgR；
（5）從位置A運動到位置B的過程中，空氣阻力對小球做了-2mgR；小球克服空氣阻力做的功是2mgR．

點評 此題考查牛頓運動定律和動能定理、功的計算注意正負，屬于基礎(chǔ)題，要求學生熟練掌握基本知識．