Question

15.如圖所示,半徑為R、圓心為O的大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi),兩個(gè)輕質(zhì)小圓環(huán)套在大圓環(huán)上.一根輕質(zhì)長(zhǎng)繩穿過(guò)兩個(gè)小圓環(huán),它的兩端都系上質(zhì)量為m的重物.忽略小圓環(huán)的大小.

（1）將兩個(gè)小圓環(huán)固定在大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸的兩側(cè)θ＝30°的位置上（如圖）.在兩個(gè)小圓環(huán)間繩子的中點(diǎn)C處,掛上一個(gè)質(zhì)量M＝m的重物,使兩個(gè)小圓環(huán)間的繩子水平,然后無(wú)初速釋放重物M.設(shè)繩子與大、小圓環(huán)間的摩擦均可忽略,求重物M下降的最大距離.

（2）若不掛重物M,小圓環(huán)可以在大圓環(huán)上自由移動(dòng),且繩子與大、小圓環(huán)間及大、小圓環(huán)之間的摩擦均可以忽略,問(wèn)兩個(gè)小圓環(huán)分別在哪些位置時(shí),系統(tǒng)可處于平衡狀態(tài)?

Answer 1

15.參考解答：

（1）重物向下先做加速運(yùn)動(dòng),后做減速運(yùn)動(dòng),當(dāng)重物速度為零時(shí),下降的距離最大.設(shè)下降的最大距離為h,由機(jī)械能守恒定律得

Mgh＝2mg［－Rsinθ］

解得h＝R

（另解h＝0舍去）

（2）系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí),兩小環(huán)的可能位置為

a.兩小環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的底端.

b.兩小環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的頂端.

c.兩小環(huán)一個(gè)位于大圓環(huán)的頂端,另一個(gè)位于大圓環(huán)的底端.

d.除上述三種情況外,根據(jù)對(duì)稱性可知,系統(tǒng)如能平衡,則兩小圓環(huán)的位置一定關(guān)于大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸對(duì)稱.設(shè)平衡時(shí),兩小圓環(huán)在大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸兩側(cè)α角的位置上（如圖所示）. 

對(duì)于重物m,受繩子拉力T與重力mg作用,有

T＝mg

對(duì)于小圓環(huán),受到三個(gè)力的作用：水平繩子的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環(huán)的支持力N.兩繩子的拉力沿大圓環(huán)切向的分力大小相等、方向相反

Tsinα＝Tsinα′

得α＝α′,而α＋α′＝90°,所以         α＝45°