Question

5．如圖是過山車的部分模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=8.1m，該光滑圓形軌道固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q點(diǎn)，圓形軌道的最高點(diǎn)A與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{10}{81}$，不計(jì)空氣阻力，過山車質(zhì)量為20kg，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小車恰好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)A處，求：
（1）小車在A點(diǎn)的速度為多大；
（2）小車在圓形軌道的最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力為重力的多少倍；
（3）小車在P點(diǎn)的動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通過A點(diǎn)，知重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小車在A點(diǎn)的速度大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出B點(diǎn)對(duì)小車的支持力，從而得出小車對(duì)軌道壓力是重力的倍數(shù)．
（3）對(duì)P到A運(yùn)用動(dòng)能定理，求出小車在P點(diǎn)的動(dòng)能．

解答 解：（1）設(shè)小車經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的臨界速度為v_A，
由$mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{A}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×8.1}m/s=9m/s$．
（2）從B到A，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mg2R=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
在B點(diǎn)，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得F_N=6mg，
由牛頓第三定律可知，小車對(duì)軌道的壓力等于6mg．
（3）對(duì)P到A，根據(jù)動(dòng)能定理得，
$-μmgcosα{x}_{PQ}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}$，
其中x_PQsinα=R+Rcosα，
解得$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=1290J$．
答：（1）小車在A點(diǎn)的速度為9m/s；
（2）小車在圓形軌道的最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力為重力的6倍；
（3）小車在P點(diǎn)的動(dòng)能為1290J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，抓住A點(diǎn)的臨界情況求出A點(diǎn)的速度是關(guān)鍵，運(yùn)用動(dòng)能定理解題關(guān)鍵選擇好研究的過程，分析過程中有哪些力做功，然后結(jié)合動(dòng)能定理列式求解．