Question

10．如圖所示，在坐標(biāo)系xoy平面內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)O₁（a，0）圓內(nèi)分布有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在直線y=a的上方和直線x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿x軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E．在x=2a處有一平行于y軸的足夠大熒光屏．在O點(diǎn)有一個(gè)粒子源，能在第一象限向各個(gè)方向垂直磁場(chǎng)發(fā)射出質(zhì)量為m、電荷量為+q、速度大小為v的相同粒子．其中沿x軸正方向的一粒子，恰好能從O₁點(diǎn)的正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力．

（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）求所有射出的粒子打在熒光屏上的范圍；
（3）若撤去熒光屏，保持電場(chǎng)大小不變，方向改為沿y軸負(fù)方向．求沿x軸正方向成θ=30°射入磁場(chǎng)的粒子在電場(chǎng)中能到達(dá)最遠(yuǎn)的位置坐標(biāo)及最后射出磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（2）從O點(diǎn)射出的沿x軸正向的粒子打在屏上最低點(diǎn)，從O點(diǎn)沿y軸正向射出的粒子打在屏上最高點(diǎn)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出所有射出的粒子打在熒光屏上的范圍．
（3）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和動(dòng)能定理求出在電場(chǎng)中最遠(yuǎn)坐標(biāo)，根據(jù)幾何關(guān)系求出最后射出磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律，有$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
沿x軸正方向的一粒子，恰好能從O₁點(diǎn)的正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，根據(jù)幾何關(guān)系知，R=a，
解得B=$\frac{mv}{qa}$．
（2）從O點(diǎn)射出的沿x軸正向的粒子打在屏上最低點(diǎn)，
$a=\frac{qE}{2m}{{t}_{1}}^{2}$，${t}_{1}=\sqrt{\frac{2ma}{qE}}$，
${y}_{1}=a+v{t}_{1}=a+v\sqrt{\frac{2ma}{qE}}$．
從O點(diǎn)沿y軸正向射出的粒子打在屏上最高點(diǎn)，
$2a=\frac{qE}{2m}{{t}_{2}}^{2}$，${t}_{2}=\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$．
${y}_{2}=a+v{t}_{2}=a+v\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$，
所以粒子打在熒光屏上的范圍為$a+v\sqrt{\frac{2ma}{qE}}≤y≤a+v\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，出磁場(chǎng)時(shí)：
$x=r-rcos60°=\frac{a}{2}$，
粒子進(jìn)電場(chǎng)后做勻減速運(yùn)動(dòng)，上升階段有：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=qE△y$，
$△y=\frac{m{v}^{2}}{2qE}$，
所以在電場(chǎng)中最遠(yuǎn)坐標(biāo)為$（\frac{a}{2}，a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}）$，
因?yàn)榱Ｗ拥能壽E半徑與磁場(chǎng)的邊界半徑相等，粒子返回磁場(chǎng)后射入點(diǎn)和射出點(diǎn)與軌跡圓心及磁場(chǎng)的邊界圓心的連線構(gòu)成菱形，所以最后射出磁場(chǎng)的坐標(biāo)為（2a，0），
 答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{mv}{qa}$；
（2）所有射出的粒子打在熒光屏上的范圍為$a+v\sqrt{\frac{2ma}{qE}}≤y≤a+v\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$；
（3）沿x軸正方向成θ=30°射入磁場(chǎng)的粒子在電場(chǎng)中能到達(dá)最遠(yuǎn)的位置坐標(biāo)為$（\frac{a}{2}，a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}）$，最后射出磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)為（2a，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵先確定圓心、半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；第二問(wèn)確定兩個(gè)臨界狀態(tài)，結(jié)合類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行求解．第三問(wèn)關(guān)鍵分析后畫(huà)出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后再列式計(jì)算．