Question

某起重機把重為500kg的貨物從靜止吊起，使貨物沿豎直方向運動，已知吊繩能夠承受最大拉力為10000N，起重機最大輸出功率10kW，（空氣阻力忽略不計取g=10m/s²）
求：
（1）若起重機以最大功率吊起貨物，當升高到2m時速度達到最大．則貨物的最大速度是多少？這一過程所用時間是多少？
（2）若貨物被勻加速從靜止提升，加速度的最大值為多少？此情形下起重機輸出功率達到最大值后又保持功率不變繼續(xù)提升貨物，發(fā)現從靜止共經2秒貨物速度達到最大值，則整個過程中貨物被提升的高度為多少？

Answer 1

（1）速度最大時候，牽引力等于重力，由此可得：
vm=

P

mg

=

10×103

500×10

m/s=2m/s，
由動能定理可得：
Pt-mgh=

1

2

mv2，
解得：
t=

1 2 mv2+mgh

P

=

1 2 ×500×22+500×10×2

10×103

=1.1s．
（2）繩的拉力最大時，貨物加速度最大，由牛頓第二定律可得：
a=

F-mg

m

=

10000-500×10

500

=10m/s2，
勻加速運動的末速度為：
v=

P

F

=

10×103

10000

=1m/s，
勻加速運動的時間為：
t1=

v

a

=

1

10

=0.1s，
位移為：
h1=

v2

2a

=

12

2×10

=0.05m，
恒功率的時間為：
t₂=2-0.1=1.9s，
由動能定理可得恒功率過程：
Pt-mgh2=

1

2

mvm2-

1

2

mv2，
解得：
h2=

10×103×1.9- 1 2 ×500×22+ 1 2 ×500×12

500×10

=3.65m．
故總位移為：
h=h₁+h₂=0.05+3.65=3.7m．
答：（1）若起重機以最大功率吊起貨物，當升高到2m時速度達到最大．則貨物的最大速度是2m/s，這一過程所用時間1.1s．
（2）若貨物被勻加速從靜止提升，加速度的最大值為10m/s²，則整個過程中貨物被提升的高度為3.7m．