Question

4．細桿AB長L，兩端分別約束在x、y軸上運動
（1）試求桿上與A點相距aL（0＜a＜L）的P點運動軌跡；
（2）如果v_A為已知，試求P點的x、y向分速度v_Px和v_Py對桿方位角θ的函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設P點坐標為（x，y），列式求解出x、y與角度的關系式，然后消去參數(shù)θ即為P點的軌跡方程；
（2）P點的軌跡是圓，速度是切線方向，畫出軌跡圖，結合幾何關系得到P點速度方向與桿的方向的夾角，P點的速度沿著桿方向的分速度與A點速度沿著桿方向的分速度相等．

解答 解：（1）設P點坐標為（x，y），
寫出參數(shù)方程得：x=aLsinθ，y=（1-a）Lcosθ
消去參數(shù)θ得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（1-a）^{2}}={L}^{2}$
故P點的運動軌跡是圓；
（2）以A點為參考點，則桿上的各點繞A點轉動，但鑒于桿上各點的運動情況如圖：

得：v_牽=v_Acosθ，${v}_{轉}={v}_{A}•\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}$
可得B端相對于A的轉動的線速度為：${v}_{轉}+{v}_{A}sinθ=\frac{{v}_{A}}{sinθ}$
所以P點的線速度為：${v}_{線}=\frac{a•{v}_{A}}{sinθ}$
所以：v_Px=v_線cosθ+v_Ax=a•v_Actgθ
v_Py=v_Ay-v_線sinθ=（1-a）v_A
答：（1）桿上與A點相距aL（0＜a＜L）的P點運動軌跡是圓，圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（1-a）^{2}}={L}^{2}$；
（2）如果v_A為已知，P點的x、y向分速度v_Px和v_Py對桿方位角θ的函數(shù)分別為：v_Px=v_線cosθ+v_Ax=a•v_Actgθ和v_Py=v_Ay-v_線sinθ=（1-a）v_A．

點評 本題涉及運動的合成與分解，是高中物理競賽的經(jīng)典試題之一，關鍵是采用運動的合成與分解以及參數(shù)方程的方法進行研究，找出點P的運動方向是關鍵．難度比較大，一般學生不建議做這一類的題目．