Question

【題目】牛頓利用行星圍繞太陽的運動看做勻速圓周運動，借助開普勒三定律推導出兩物體間的引力與它們之間的質量乘積成正比，與他們之間距離的平方成反比。牛頓思考月球繞地球運行的原因時，蘋果的偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它圍繞地球運動的力與拉著蘋果下落的力，是否都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統(tǒng)一的規(guī)律——平方反比規(guī)律？因此，牛頓開始了著名的“月—地檢驗”。

（1）在牛頓的時代，將行星圍繞太陽的運動看做勻速圓周運動。月球與地球質心間的距離r、月球繞地球公轉的周期T等都能比較精確地測定，請你據此寫出計算月球公轉的向心加速度a的表達式；已知r≈3.84×108m，T≈2.36×106s，地面附近的重力加速度g＝9.80m/s2，請你根據這些數據估算比值；

（2）將月球繞地球運動也看作勻速圓周運動，已知月球與地球的距離約為地球半徑的60倍，如果牛頓的猜想正確，請你據此計算月球公轉的向心加速度a和蘋果下落的加速度g的比值；與（1）中的結果相比較，你能得出什么結論？

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；結論見解析

【解析】

（1）月球與地球質心間的距離r、月球繞地球公轉的周期T，月球公轉的向心加速度a，則有：

代入相關數據求得：

（2）設月球的質量為，地球的質量為，根據牛頓第二定律有：

設蘋果的質量為m，地球的半徑為R，根據牛頓第二定律有：

由題意知：

聯立可得：

比較（1）中的結果，二者近似相等，由此可得出結論：牛頓的猜想是正確的，即地球對月球的引力，地面上的物體的重力，都與太陽吸引行星的力的性質相同，遵循相同的規(guī)律，即——與平方成反比的規(guī)律。