Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX－3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成.兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖7-5-4所示.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T.

圖7-5-4

（1）可見星A所受暗星B的引力F_a可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求m′（用m₁、m₂表示）；

（2）求暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，運(yùn)行周期T＝4.7π×10⁴ s，質(zhì)量m₁＝6m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎.（G＝6.67×10^-11 N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg）

Answer 1

解析：（1）本題綜合考查萬有引力定律、圓周運(yùn)動(dòng)、向心力公式、牛頓第二定律等知識(shí).A、B繞著共同的圓心做半徑不同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬有引力互為對方的向心力.解題時(shí)要抓住它們具有相同的角速度這一條件，然后利用萬有引力充當(dāng)向心力，分別研究A、B就可計(jì)算，得出結(jié)果.在第三問判斷中，要充分利用好“如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞”這一條件.

設(shè)A、B圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為ω.由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

F_A=m₁ω²r₁  F_B=m₂ω²r₂

F_A=F_B

設(shè)A、B之間的距離為r，又r=r₁+r₂，由上述各式得r=                     ①

由萬有引力定律，有F_A=

將①代入得F_A=，令F_A=

比較可得m′=.                                                      ②

（2）由牛頓第二定律，有                                       ③

又可見星A的軌道半徑r₁=                                                  ④

由②③④式解得.                                           ⑤

（3）將m₁=6m_s

代入數(shù)據(jù)得=3.5m_s                                                 ⑥

設(shè)m₂=nm_s(n＞0)，將其代入⑥式，得=3.5m_s                      ⑦

可見，的值隨n的增大而增大，試令n=2，得=0.125m_s＜3.5m_s ⑧

若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質(zhì)量m₂必大于2m_s，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞.