Question

5．水平固定的兩根足夠長的平行光滑桿MN、PQ，兩者之間的間距為L，兩光滑桿上分別穿有一個質(zhì)量分別為M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，兩小球之間用一根自然長度也為L的輕質(zhì)橡皮繩相連接，開始時兩小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，輕質(zhì)橡皮繩處于自然伸長狀態(tài)，如圖（a）所示．現(xiàn)給小球A一沿桿向右的水平瞬時沖量，以向右為速度正方向，得到A球的速度-時間圖象如圖（b）所示．（以小球A獲得瞬時沖量開始計時，以后的運動中橡皮繩的伸長均不超過其彈性限度．）

（1）求B球速度的最大值．
（2）在圖（b）中定性畫出B球的速度-時間圖象（不用寫分析過程，直接畫圖．A、B圖象如有交點，需用虛線將交點的速度值在縱坐標(biāo)軸上指示出來）
（3）若在A、B兩小球已經(jīng)運動的過程中，有另一穿在桿上的質(zhì)量為M_C=0.1kg的小球C，以4m/s的速度從A的左側(cè)運動過來遇到小球A，并與A結(jié)合在一起運動．試求出這以后橡皮繩最大彈性勢能的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）兩小球組成系統(tǒng)動量守恒，當(dāng)根據(jù)A球速度大小范圍求得B球的最大速度；
（2）根據(jù)動量守恒定律求出2的幾個速度值，描點連成光滑曲線即可；
（3）A和B球碰撞后，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒定律，能量守恒定律求解．

解答 解：（1）A、B兩小球在水平方向不受外力，動量守恒，
M_AV_A=M_Av_A’+M_Bv_B 
由分析可知，當(dāng)v_A=-2m/s時，B球速度最大．
解得B球的最大速度：v_B=4m/s 
（2）A、B兩小球在水平方向不受外力，動量守恒，
M_Av_A=M_Av_A’+M_Bv_B
${v}_{B}=\frac{{M}_{A}}{{M}_{B}}（{v}_{A}-{v}_{A}^{′}）$=$\frac{1}{2}（{v}_{A}-{v}_{A}^{′}）$
當(dāng)${v}_{A}^{′}$=6m/s時，v_B=0
當(dāng)${v}_{A}^{′}$=0時，v_B=3m/s
當(dāng)${v}_{A}^{′}$=-2m/s時，v_B=4m/s
據(jù)此可得B的速度-時間圖象如右圖所示；
（3）因A、B、C三小球水平方向系統(tǒng)不受外力，故動量守恒．
由此可得：不論A、C兩球何時何處相互作用，三球相互作用的過程中三球具有的共同速度是一個定值，即三球速度相同時的總動能是一定值．
M_Av_A+M_Cv_C=（M_A+M_B+M_C）v_共  
代入數(shù)據(jù)解得：v_共=2.5m/s
當(dāng)三球速度相同時橡皮繩子彈性勢能最大，所以當(dāng)A球在運動過程中速度減為4m/s與C球同向時，C球與之相碰時系統(tǒng)損失能量最�。�為0），此情況下三球在運動過程中橡皮繩具有的最大彈性勢能為E_PM1
E_PM1=$\frac{1}{2}$M_Av_A²+$\frac{1}{2}$M_Cv_C²-$\frac{1}{2}$（M_A+M_B+M_C）v_共²=1.35J    
當(dāng)A球在運動過程中速度為2m/s與C球反向時，C球與之相碰時系統(tǒng)損失能量最大，此情況下三球運動的過程中橡皮繩具有的最大彈性勢能為E_PM2
M_Cv_C-M_Av_A=（M_A+M_C）v₃
代入數(shù)據(jù)解得：v₃=1m/s
E_PM2=$\frac{1}{2}$（M_A+M_C）v₃²+$\frac{1}{2}$M_Bv_B²-$\frac{1}{2}$（M_A+M_B+M_C）v_共²=0.45J
由上可得：橡皮繩具有的最大彈性勢能E_PM的可能值在0.45J-1.35J的范圍內(nèi)．
答：（1）求B球速度的最大值為4m/s；
（2）如上圖所示；
（3）若在A、B兩小球已經(jīng)運動的過程中，有另一穿在桿上的質(zhì)量為M_C=0.1kg的小球C，以4m/s的速度從A的左側(cè)運動過來遇到小球A，并與A結(jié)合在一起運動．這以后橡皮繩最大彈性勢能的取值范圍為0.45J-1.35J．

點評 本題主要考查了動量守恒定律，能量守恒定律的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析小球的運動情況，知道什么時候彈性勢能最大，過程較為復(fù)雜，難度較大，屬于難題．