Question

2．如圖所示，中空、內(nèi)壁光滑的直玻璃管，豎立在地面上，內(nèi)一根輕彈簧固定在管的底部，一質(zhì)量為m的小球，從離管底高h(yuǎn)處由靜止釋放，小球釋放開始至運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，所受的合力隨高度變化的關(guān)系如圖所示，重力加速度g取10m/s²，求：
（1）小球的質(zhì)量；
（2）彈簧的勁度系數(shù)；
（3）若小球從高h(yuǎn)₀=1.3m處由靜止落下，求小球下落到最低點(diǎn)時(shí)的高度h₃（設(shè)小球下落過(guò)程中彈簧的形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)）

Answer 1

分析 （1）由圖象可知當(dāng)高度大于1m時(shí)小球所受合力恒為40N，可知此時(shí)小球只受重力不受彈力作用，故可得小球的重力為40N，由重力加速度可求得小球的質(zhì)量；
（2）據(jù)圖象可知，彈簧的原長(zhǎng)為1m，當(dāng)小球所受合力為零時(shí)彈簧彈力和重力大小相等，據(jù)此求得彈簧的勁度系數(shù)；
（3）根據(jù)彈性勢(shì)能的表達(dá)式，由能量關(guān)系分析此時(shí)小球下落至最低點(diǎn)時(shí)的高度．

解答 解：（1）由圖象知小球所受合力在高度大于1m時(shí)相同，故可知在此范圍內(nèi)小球只受重力，即小球的重力G=mg=40N
故可知，小球的質(zhì)量m=$\frac{G}{g}=\frac{40}{10}kg=4kg$
（2）由圖象知，小球高度從1m開始向下受到彈力作用，故知彈簧的原長(zhǎng)L=1m，當(dāng)小球壓縮彈簧至彈力與重力平衡時(shí)小球所受合力為零，由圖示可知，此時(shí)彈簧長(zhǎng)度等于小球的高度h′=0.8m
在此過(guò)程中，彈簧壓縮的長(zhǎng)度x=L-h′=1-0.8m=0.2m
此時(shí)彈簧彈力F=G=40N
根據(jù)胡克定律F=kx可得，彈簧的勁度系數(shù)k=$\frac{F}{x}=\frac{40}{0.2}N/m=200N/m$
（3）小球落在彈簧至壓縮到最短過(guò)程中，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．
由題意知令小球在最低點(diǎn)時(shí)的高度為h₃，則此時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能E′=$mg{h}_{3}+\frac{1}{2}k（1-{h}_{3}）^{2}$
又系統(tǒng)初始狀態(tài)時(shí)的機(jī)械能E=mgh₀
由機(jī)械能守恒可得：$mg{h}_{0}=mg{h}_{3}+\frac{1}{2}k（1-{h}_{3}）^{2}$
據(jù)此可得：h₃=0.4m（另一值1.2m不合題意舍去）
答：（1）小球的質(zhì)量為4kg；
（2）彈簧的勁度系數(shù)200N/m；
（3）若小球從高h(yuǎn)₀=1.3m處由靜止落下，小球下落到最低點(diǎn)時(shí)的高度h₃為0.4m（設(shè)小球下落過(guò)程中彈簧的形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)）

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是讀懂小球所受合力與高度的關(guān)系圖象和，知道合力為零時(shí)，小球所受彈力與重力平衡，掌握彈性勢(shì)能的表達(dá)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．