Question

17．水星和金星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．從水星、金星與太陽(yáng)在一條直線上時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，測(cè)得在相同時(shí)間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ₁，金星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ₂（θ₁、θ₂均為銳角），如圖所示．則下列選項(xiàng)正確的是（　�。�

• A． 水星和金屬繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期之比為$\frac{{T}_{水}}{{T}_{金}}$=$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$
• B． 水星和金星到太陽(yáng)的距離之比為$\frac{{r}_{水}}{{r}_{金}}$=$（\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}）^{\frac{2}{3}}$
• C． 水星和金星的質(zhì)量之比為$\frac{{M}_{水}}{{M}_{金}}$=（$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$
• D． 水星和金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比為$\frac{{a}_{水}}{{a}_{金}}$=$（\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}）^{\frac{4}{3}}$

Answer 1

分析 根據(jù)$ω=\frac{△θ}{△t}$可求得水星和金星的角速度之比，然后再利用萬(wàn)有引力提供向心力，可求得周期、質(zhì)量、向心加速度之比．

解答 解：根據(jù)$ω=\frac{△θ}{△t}$得：水星與金星的角速度之比為：$\frac{{ω}_{水}}{{ω}_{金}}=\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}$
A、根據(jù)$T=\frac{2π}{ω}$得水星和金屬繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期之比為：$\frac{{T}_{水}}{{T}_{金}}=\frac{{ω}_{金}}{{ω}_{水}}=\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$，故A正確；
B、金星和水星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$ 即：$r=\root{3}{\frac{G{M}_{太}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，所以水星和金星到太陽(yáng)的距離之比為$\frac{{r}_{水}}{{r}_{金}}=\frac{\root{3}{{{T}_{水}}^{2}}}{\root{3}{{{T}_{金}}^{2}}}=（\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}）^{\frac{2}{3}}$，故B正確；
C、萬(wàn)有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$ 可以看出無(wú)法求解水星和金星的質(zhì)量之比，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)a=ω²r得水星和金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比為$\frac{{a}_{水}}{{a}_{金}}=\frac{{{ω}_{水}}^{2}}{{{ω}_{金}}^{2}}×\frac{{r}_{水}}{{r}_{金}}=（\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}）^{2}×（\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}）^{\frac{2}{3}}\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$=$（\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}）^{\frac{4}{3}}$，故D正確；
故選：ABD．

點(diǎn)評(píng) 水星和金星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力列式即可求解．