Question

14．若登月宇航員進行以下測量：
①當飛船沿貼近月球表面的圓形軌道環(huán)繞時，測得環(huán)繞周期為T；
②登月艙在月球表面著陸后，宇航員在距月球地面高h處讓一小球自由下落，測得小球經(jīng)過時間t后落地，已知萬有引力常量G，h遠小于月球半徑． 試根據(jù)以上測得的量，求：
（1）月球表面的重力加速度g_月的大小
（2）月球的半徑R．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體的高度和時間求得月球表面的重力加速度；
（2）月球表面重力與萬有引力相等和萬有引力提供近月飛船向心力由飛船周期和重力加速度求出月球的半徑R．

解答 解：（1）由題意知，在月球表面h處自由下落的物體經(jīng)t時間落回地面，由自由落體運動規(guī)律有
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得月球表面的重力加速度g_月=$\frac{2h}{{t}^{2}}$      
（2）質(zhì)量為m的飛船在近月面軌道環(huán)行時，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$    ①
質(zhì)量為m的物體在月球表面受到的重力為：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$             ②
代入g_月=$\frac{2h}{{t}^{2}}$由①②兩式解得：
R=$\frac{h{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}$
答：（1）月球表面的重力加速度g_月的大小為$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的半徑R為$\frac{h{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵是抓住星球表面的重力與萬有引力相等，同時萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力，這是萬有引力應用的兩個解決問題的主要入手點．