Question

（25分）有一豎直放置、兩端封閉的長玻璃管，管內(nèi)為真空，管內(nèi)有一小球自某處自由下落（初速度為零），落到玻璃管底部時與底部發(fā)生彈性碰撞．以后小球?qū)⒃诓ＡЧ軆?nèi)不停地上下跳動�，F(xiàn)用支架固定一照相機(jī)，用以拍攝小球在空間的位置。每隔一相等的確定的時間間隔T拍攝一張照片，照相機(jī)的曝光時間極短，可忽略不計。從所拍到的照片發(fā)現(xiàn)，每張照片上小球都處于同一位置。求小球開始下落處離玻璃管底部距離（用H表示）的可能值以及與各H值相應(yīng)的照片中小球位置離玻璃管底部距離的可能值。

Answer 1

解析：

解法一

小球沿豎直線上下運(yùn)動時，其離開玻璃管底部的距離h隨時間t變化的關(guān)系如圖所示．設(shè)照片拍攝到的小球位置用A表示，A離玻璃管底部的距離為h_A，小球開始下落處到玻璃管底部的距離為H.小球可以在下落的過程中經(jīng)過A點(diǎn)，也可在上升的過程中經(jīng)過A點(diǎn).現(xiàn)以表示小球從最高點(diǎn)（即開始下落處）落到玻璃管底部所需的時間（也就是從玻璃管底部反跳后上升到最高點(diǎn)所需的時間），表示小球從最高點(diǎn)下落至A點(diǎn)所需的時間（也就是從A點(diǎn)上升至最高點(diǎn)所需的時間），表示小球從A點(diǎn)下落至玻璃管底部所需的時間（也就是從玻璃管底部反跳后上升至A點(diǎn)所需的時間）.顯然，.根據(jù)題意，在時間間隔T 的起始時刻和終了時刻小球都在A點(diǎn)．用n表示時間間隔 T  內(nèi)（包括起始時刻和終了時刻）小球位于A點(diǎn)的次數(shù)（n≥2）.下面分兩種情況進(jìn)行討論：

1．A點(diǎn)不正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．

當(dāng)n為奇數(shù)時有

                  （1）

在（1）式中，根據(jù)題意可取中的任意值，而

     （2）

當(dāng)n為偶數(shù)時有

           （3）

由（3）式得                                   （4）

由（1）、（3）、（4）式知，不論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有

                           （5）

因此可求得，開始下落處到玻璃管底部的距離的可能值為

                      （6）

若用表示與n對應(yīng)的H值，則與相應(yīng)的A點(diǎn)到玻璃管底部的距離

                              （7）

當(dāng)n為奇數(shù)時，可取中的任意值，故有

                n=3,5,7,? ? ?    （8）

可見與相應(yīng)的的可能值為0與之間的任意值．

當(dāng)n為偶數(shù)時，，由（6）式、（7）式求得的可能值

               n=2,4,6,? ? ?            （9）

2．若A點(diǎn)正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．

無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)都有

            n=2,3,4,? ? ?    （10）

          n=2,3,4,? ? ?    （11）

           n=2,3,4,? ? ?    （12）

或     （13）

解法二

因為照相機(jī)每經(jīng)一時間間隔T拍攝一次時，小球都位于相片上同一位置，所以小球經(jīng)過該位置的時刻具有周期性，而且T和這個周期的比值應(yīng)該是一整數(shù)．下面我們就研究小球通過某個位置的周期性．

設(shè)小球從最高點(diǎn)（開始下落處）落下至管底所需時間為t ，從最高點(diǎn)下落至相片上小球所在點(diǎn)（A點(diǎn)）所需時間為，從A點(diǎn)下落至管底所需時間為，則

    （1）

（小球上升時通過相應(yīng)路程段所需時間與下落時同一路程所需時間相同，也是t、和）

從小球在下落過程中經(jīng)過A點(diǎn)時刻開始，小球經(jīng)過的時間后上升至A點(diǎn)，再經(jīng)過時間后又落到A點(diǎn)，此過程所需總時間為．以后小球?qū)⒅貜?fù)這樣的運(yùn)動．小球周期性重復(fù)出現(xiàn)在A點(diǎn)的周期是多少？ 分兩種情況討論：

（1），和都不是小球在A點(diǎn)重復(fù)出現(xiàn)的周期，周期是．

（2），小球經(jīng)過時間回到A點(diǎn)，再經(jīng)過時間又回到A點(diǎn)，所以小球重復(fù)出現(xiàn)在A點(diǎn)的周期為t．

下面就分別討論各種情況中的可能值和A點(diǎn)離管底的距離的可能值．（如果從小球在上升過程中經(jīng)過A點(diǎn)的時刻開始計時，結(jié)果一樣，只是和對調(diào)一下）

1．H的可能值

（1）較普遍的情況，．與的比值應(yīng)為一整數(shù)，的可能值應(yīng)符合下式

，       （2）

由自由落體公式可知，與此相應(yīng)的的數(shù)值為

       （3）

（2）．的可能值應(yīng)符合下式

               （4）

故的可能值為

       （5）

當(dāng)為偶數(shù)時，即時，（5）式與（3）式完全相同．可見由（3）式求得的的可能值包含了的全部情況和的一部分情況．當(dāng)為奇數(shù)時，即時，由（5）式得出的的可能值為

         （6）

它們不在（3）式之內(nèi)，故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值．

2．與各H值相應(yīng)的的可能值

a.與相應(yīng)的的可能值

由于在求得（3）式時未限定A點(diǎn)的位置，故的數(shù)值可取0和之間的任意值，即

                （7）

b. 與（為奇數(shù)）相應(yīng)的的可能值

這些數(shù)值與A位于特定的位置，，相對應(yīng)，所以對于每一個對應(yīng)的是一個特定值，它們是

            （8）