Question

18．如圖所示，在x＜1.5d的空間有一沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場，在x＞1.5d的空間充滿垂直于xoy平面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$的勻強(qiáng)磁場．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以大小為v₀的初速度垂直x軸方向從P（4.5d，0）進(jìn)入場區(qū)，該粒子分別經(jīng)磁場、電場恰好通過坐標(biāo)原點(diǎn)O又能回到P點(diǎn)，并且做周期性運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子所受的重力，求：
（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與電場和磁場交界面（圖中虛線）的兩個(gè)交點(diǎn)的間距L₀．
（2）電場強(qiáng)度E的大�。�
（3）粒子做周期性運(yùn)動(dòng)的周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，結(jié)合幾何關(guān)系得到運(yùn)動(dòng)軌跡與電場和磁場交界面（圖中虛線）的兩個(gè)交點(diǎn)的間距L₀．
（2）粒子在電場中做類似斜上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式求解電場強(qiáng)度；
（3）在磁場中時(shí)間根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}T$求解，在電場中時(shí)間根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式求解．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：
R=2d
畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：

故L=2Rcos30°=$\sqrt{3}$R=2$\sqrt{3}$R
（2）粒子在電場中是類似斜上拋運(yùn)動(dòng)，初速度與y軸夾角為60°，故：
L=v₀cos60°t
y=0=${v}_{0}sin60°t-\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$
聯(lián)立解得：
E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qL}$
（3）粒子在磁場中時(shí)間：
t=$\frac{θ}{2π}T$=$\frac{240°}{360°}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{8πd}{{v}_{0}}$
粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
t′=$\frac{L}{{v}_{0}cos60°}$=$\frac{4\sqrt{3}d}{{v}_{0}}$
答：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與電場和磁場交界面（圖中虛線）的兩個(gè)交點(diǎn)的間距為2$\sqrt{3}$R．
（2）電場強(qiáng)度E的大小為$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qL}$．
（3）粒子做周期性運(yùn)動(dòng)的周期T為$\frac{4\sqrt{3}d}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡后，結(jié)合幾何關(guān)系、牛頓第二定律和類似拋體運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式求解，不難．