Question

如題圖1所示的坐標(biāo)系內(nèi)，在x0（x0＞0）處有一垂直工軸放置的擋板．在y軸與擋板之間的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)與xoy平玨垂直且指向紙內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T．位于坐標(biāo)原點(diǎn)O處的粒子源向xoy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶正電的粒子，所有粒子的初速度大小均為vo=1.0×106m/s，方向與x軸正方向的夾角為θ，且0≤θ≤90°．該粒子的比荷為

q

m

=1.0×108C/kg，不計(jì)粒子所受重力和粒子間的相互作用，粒子打到擋板上后均被擋板吸收．
（1）求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R：
（2）如題圖2所示，為使沿初速度方向與x軸正方向的夾角θ=30°射出的粒子不打到擋板上，則x0必須滿足什么條件？該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少？
（3）若x₀=5.0×10-2m，求粒子打在擋板上的范圍（用y坐標(biāo)表示），并用“”圖樣在題圖3中畫出粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域：

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道半徑．
（2）粒子恰好不打到擋板上，其運(yùn)動(dòng)軌跡與擋板相切，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出x₀，即可得到x₀滿足的條件．根據(jù)粒子軌道對(duì)應(yīng)的圓心角θ，由公式t=

θ

2π

T求出時(shí)間．
（3）若x₀=5.0×10^-2m，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出粒子打在擋板上的范圍．

解答：解：（1）由牛頓第二定律得：qvB=m

v 2 0

R

解得：R=

mv0

qB

=5.0×10^-2m
（2）如圖所示，設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與擋板相切，由幾何關(guān)系得：
x₀=R+Rsinθ
解得：x₀=7.5×10^-2 m
為使該粒子不打到擋板上：x₀≥7.5×10^-2 m
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T：
T=

2πR

v

=

2πm

Bq

=π×10-7s
由幾何知識(shí)可知，粒子的軌道對(duì)應(yīng)的圓心角為：α=2θ+π=

4

3

π
則該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

4 3 π

2π

T=

2

3

T=

2

3

π×10-7s
（3）若x₀=5.0×10^-2 m，則 x₀=R
當(dāng)粒子沿著-y方向入射時(shí)，將打在擋板上的A點(diǎn)，其縱坐標(biāo)：y_A=-R=5.0×10^-2 m；
當(dāng)粒子沿著+x方向入射時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與擋板相切于B點(diǎn)，其縱坐標(biāo)：y_B=R=5.0×10^-2 m
則粒子打在擋板上的范圍為：-5.0×10^-2 m≤y＜5.0×10^-2 m．
粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域如圖所示．
答：
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R是5.0×10^-2m；
（2）為使該粒子不打到擋板上，x₀≥7.5×10^-2 m，該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是

2

3

π×10-7s．
（3）粒子打在擋板上的范圍為-5.0×10^-2 m≤y＜5.0×10^-2 m．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出相關(guān)的距離，確定圓心角，求解粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．