Question

20．如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，整個裝置豎直放置，C是最低點，圓心角θ=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=1m，斜面長L=4m，現有一個質量m=0.5kg的小物體P從斜面AB上端A點無初速下滑，物體P與斜面AB之間的動摩擦因數為μ=0.25．不計空氣阻力，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）物體P第一次通過C點時的速度大小V_G；
（2）物體P第一次通過C點時對軌道的壓力N；
（3）物體P第一次離開D點后在空中做豎直上拋運動到最高點E，接著從空中又返回到圓軌道和斜面，在這樣多次反復的整個運動過程后，求物體P在斜面上通過的總路程．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出物體P第一次通過C點時的速度大��；
（2）在C點，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓運動定律求解壓力N．
（3）物體從A點無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，最終在圓弧上來回運動，到達B點的速度為零．物體在斜面上運動時摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負功，滑動摩擦力做的總功與總路程成正比，根據動能定理求解總路程．

解答 解：（1）從A到C，由動能定理得
   mg[Lsinθ+R（1-cosθ）]-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 v_C=6m/s
（2）在C點，設軌道對物體的支持力F_N，由牛頓第二定律得
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯立解得 F_N=23N 
由牛頓第三定律可知，物體對C點的最大壓力N為23N，方向向下．
（3）設物體P在斜面上滑行的總路程為S．對物體從A到B的全過程，應用動能定理得
     mgLsinθ-μmgcosθS=0
解得   S=$\frac{Ltanθ}{μ}$=$\frac{4×\frac{3}{4}}{0.25}$m=12m
答：
（1）物體P第一次通過C點時的速度大小是6m/s．
（2）物體P第一次通過C點時對軌道的壓力N是23N；
（3）物體P在斜面上通過的總路程是12m．

點評 本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應用，關鍵是分析物體的運動過程，抓住滑動摩擦力做功與路程有關這一特點．