Question

15．如圖所示，在直角坐標(biāo)平面的第I象限內(nèi)有一垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，直線OA是磁場(chǎng)右側(cè)的邊界．在第Ⅱ象限，存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，y軸是電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)域的分界線，曲線OM滿(mǎn)足方程x=-ky²（k＞0）．有一電量為-q（q＞0），質(zhì)量為m的粒子（重力不計(jì)），在曲線OM上某一點(diǎn)由靜止釋放，穿過(guò)y軸進(jìn)入磁場(chǎng)中．
（1）試寫(xiě)出帶電粒子穿過(guò)y軸時(shí)的速度大小與釋放點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式；
（2）若粒子從曲線OM上任意位置釋放，要求粒子穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后，都垂直于x軸射出．求直線OA與x軸的夾角θ的正切值．（用題中已知物理量的符號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合OM滿(mǎn)足方程x=-ky²（k＞0）求出帶電粒子穿越y(tǒng)軸時(shí)的速度與釋放點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式．
（2）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子都垂直x軸射出，則粒子偏轉(zhuǎn)90°，從而得知粒子射出磁場(chǎng)的點(diǎn)的x坐標(biāo)值為圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r，縱坐標(biāo)為y-r，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合r與速度的關(guān)系，求出直線OA與x軸的夾角正切值tanθ

解答 解：（1）設(shè)粒子釋放點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則粒子受電場(chǎng)力作用作勻加速直線運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸，由動(dòng)能定理得：
qE（-x）=$\frac{1}{2}$mv²
又x=-ky²（k＞0）．
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{\frac{2qEk}{m}}•y$，即速度v與縱坐標(biāo)成正比．
（2）入射點(diǎn)為y坐標(biāo)的粒子，其速率為v=by，b=$\sqrt{\frac{2qEk}{m}}$，進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，有：
$qvB=m\frac{v^2}{r}$
得：r=$\frac{mv}{qB}$
最后粒子都垂直x軸射出，則粒子偏轉(zhuǎn)90°，所以粒子射出磁場(chǎng)的點(diǎn)的x坐標(biāo)值為r，由幾何關(guān)系可得，OA直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為：（r，y-r）
則tanθ=$\frac{y-r}{r}$
解得：tanθ=B$\sqrt{\frac{q}{2kmE}}-1$．
答：（1）帶電粒子穿越y(tǒng)軸時(shí)的速度與釋放點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式為v=$\sqrt{\frac{2qEk}{m}}•y$
（2）直線OA與x軸的夾角正切值為B$\sqrt{\frac{q}{2kmE}}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，結(jié)合數(shù)學(xué)幾何關(guān)系進(jìn)行求解