Question

如圖所示，光滑絕緣軌道ABCD位于同一豎直面內(nèi)，水平部分AB=L，3/4圓弧軌道BCD的圓心為0，半徑為R，B點是最低點，c點是最高點，0、D同一水平高度．整個裝置位于水平向右的勻強電場中，電場強度E．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為+q的光滑小球從A點由靜止開始運動，已知小球能夠沿BCD圓軌道到達D點．求：
（1）小球到C點時的速度v_c多大？
（2）若已知E=

mg

q

，小球在軌道BCD上哪點速度最��？L至少是R的多少倍才能取得該最小速度？

Answer 1

分析：先對帶電小球受力分析和運動分析，選取研究過程，用動能定理求解；只有重力和電場力做功且為恒力，根據(jù)力的合成法則，二力的合力方向偏右下方與水平方向成450，帶電小球在BCD運動中，只有二力的合力做負功時，其速度逐漸減小，當(dāng)運動到CD所在圓弧的中點E時，其二力的合力不做功，E點之前做負功，E點之后做正功，故帶電小球運動到E點時，速度最小． 小球能運動到D點，所以在E點的至少滿足：二力的合力提供圓周運動向心力．

解答：解：以帶電小球為研究對象，運動時受重力、電場力和接觸面的彈力，其中，重力和電場力為恒力，彈力不做功，小球能運動到D點，設(shè)小球運動到C點的速度為v_c，
（1）、以A到C為研究過程，由動能定理得：EqL-mg?2R=

1

2

mV_c²                                 
解之得：v_c=

2(EqL-2mgR) m

（2）、當(dāng)E=

mg

q

時，即Eq=mg     
小球在運動中只有重力和電場力做功且為恒力，根據(jù)力的合成法則，二力的合力方向偏右下方與水平方向成45°，帶電小球在CD運動中，二力的合力先做負功，后做正功時，其速度先減小后逐漸增大，當(dāng)運動到CD所在圓弧的中點E時，其二力的合力的方向與運動方向垂直，故帶電小球運動到E點時，速度最�。�
由幾何關(guān)系知，E點到A點的高度為：h_EA=R+Rsin45°…①
E點到A點的水平距離為：h¹_EA=L-Rcos45°…②
以A→B→C→E為研究過程，在E點的速度為v _E，由動能定理得：
-mg（R+Rsin45 ⁰）+Eq（L-Rcos45 ⁰）=

1

2

mv²_E …③
小球能運動到D點，所以在E點的至少滿足：二力的合力提供向心力．由牛頓第二定律得：

2

mg=

mv 2 E

R

…④
聯(lián)立①②③④解之得：L=（1+

3 2

2

）R
答：（1）、小球到C點時的速度

2(EqL-2mgR) m

；
（2）、若已知E=

mg

q

，小球在軌道BCD上運動到CD所在圓弧的中點E速度最小；L至少是R的（1+

3 2

2

）倍才能取得該最小速度．

點評：本題的關(guān)鍵是尋求最小速度的位置（用功能關(guān)系）和此位置做圓周運動的臨界條件，即在E點的至少滿足：二力的合力提供向心力．