Question

17．在邊長為2a的正△ABC內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，有一帶正電q，質(zhì)量為m的粒子從距A點(diǎn)$\sqrt{3}$a的D點(diǎn)垂直AB方向進(jìn)入磁場，如圖所示，求：
（1）粒子速率應(yīng)滿足什么條件，粒子能從AB間射出；
（2）粒子速率應(yīng)滿足什么條件，粒子能從AC間射出．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)其軌跡恰好與AC邊相切時(shí)，軌跡對應(yīng)的圓心角最大，此時(shí)剛好不從AC邊射出（即從AB邊射出），由幾何知識求出軌道半徑，再牛頓第二定律求出最大速度即可；
（2）設(shè)粒子速率為v₂時(shí)，其圓軌跡正好與BC邊相切于F點(diǎn)（不從BC邊射出），與AC相交于G點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，再根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)粒子速率為v₁時(shí)，其圓軌跡正好與AC邊相切于E點(diǎn)，
在△AO₁E中，O₁E=R₁，${O}_{1}A=\sqrt{3}a-{R}_{1}$，
由幾何關(guān)系得：cos30$°=\frac{{O}_{1}E}{{O}_{1}A}$
解得：${R}_{1}=3（2-\sqrt{3}）a$
由Bqv${\;}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$得：${v}_{1}=\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}$
則要粒子能從AB間離開磁場，其速度滿足$0＜{v}_{\;}＜\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}$，
（2）設(shè)粒子速率為v₂時(shí)，其圓軌跡正好與BC邊相切于F點(diǎn)，與AC相交于G點(diǎn)，
分析知A點(diǎn)即為粒子軌跡的圓心．
則${R}_{2}=AD=AG=\sqrt{3}a$
又由$Bq{v}_{2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$得${v}_{2}=\frac{\sqrt{3}aqB}{m}$
則要粒子能從AC間射出磁場，
其速度v滿足的條件為$\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}＜v＜\frac{\sqrt{3}aqB}{m}$．
答：（1）粒子速率應(yīng)滿足$0＜{v}_{\;}＜\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}$，粒子能從AB間射出；
（2）粒子速率應(yīng)滿足$\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}＜v＜\frac{\sqrt{3}aqB}{m}$，粒子能從AC間射出．

點(diǎn)評 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動解題一般程序是
1、畫軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
2、找聯(lián)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動時(shí)間相聯(lián)系，時(shí)間與周期聯(lián)系．
3、用規(guī)律：牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的規(guī)律．