Question

1．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一光滑圓弧軌道，其半徑為R，平臺與軌道的最高點等高，一小球從平臺邊緣的A處水平射出，恰能沿圓弧軌道上的P點的切線方向進(jìn)入軌道內(nèi)側(cè)，軌道半徑OP與豎直線的夾角為45°，試求：
（1）小球從平臺上的A點射出時的速度v₀；
（2）小球從平臺上射出點A到圓軌道入射點P之間的距離l；
（3）小球能否沿軌道通過圓弧的最高點？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進(jìn)入圓弧，說明到到A點的速度v_A方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）平拋運動水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，根據(jù)平拋運動的基本規(guī)律求出P點與A點的水平距離和豎直距離，并進(jìn)行合成求出位移大�。�
（3）設(shè)小球能到達(dá)D點，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得D點速度，再運用牛頓第二定律和圓周運動知識求解

解答 解：（1）小球從A到P的高度差為：
h=R（1+cos45°）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1）R，
小球做平拋運動，有：h=$\frac{1}{2}$gt²，
則小球在P點的豎直分速度為：v_y=gt=$\sqrt{（2+\sqrt{2}）gR}$．
把小球在P點的速度分解可得v₀=v_y，所以小球平拋初速度為：v₀=$\sqrt{（2+\sqrt{2}）gR}$
（2）小球平拋下降高度為：h=$\frac{1}{2}$v_y•t，
水平射程為：s=v₀t=2h，
故A、P間的距離為：l=$\sqrt{{h}^{2}+{s}^{2}}$=$\sqrt{5}$h=（$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$）R．
（3）小球從A到達(dá)Q時，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：v_Q=v₀=$\sqrt{（2+\sqrt{2}）gR}$＞$\sqrt{gR}$，所以小球能通過圓弧軌道的最高點．
答：（1）小球從平臺上的A點射出時的速度為$\sqrt{（2+\sqrt{2}）gR}$；
（2）小球從平臺上射出點A到圓軌道入射點P之間的距離為（$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$）R；
（3）小球能沿軌道通過圓弧的最高點，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得$\sqrt{（2+\sqrt{2}）gR}$＞$\sqrt{gR}$，所以小球能通過圓弧軌道的最高點．

點評 恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運動和圓周運動結(jié)合在一起運用機(jī)械能守恒解決，能夠很好的考查學(xué)生的能力，是道好題．本題是平拋運動和圓周運動相結(jié)合的典型題目，除了運用平拋運動和圓周運動的基本公式外，求速度的問題，動能定理不失為一種好的方法．