Question

已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，萬有引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．試求：
（1）衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的第一宇宙速度v₁的大小
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)行周期為T，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道半徑r
（3）由題干所給條件，推導(dǎo)出地球平均密度的ρ表達(dá)式．

Answer 1

分析：研究衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出線速度、軌道半徑．
由于不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，得出地球表面附近萬有引力等于重力，可以表示出地球的質(zhì)量．
運(yùn)用密度公式求出地球平均密度．

解答：解：（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力定律，
物體在地球表面附近滿足

GMm

R2

=mg，
第一宇宙速度是指衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，
衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力，即

GMm

R2

=m

v 2 1

R2

或m

v 2 1

R2

=mg，
聯(lián)立解得：v₁=

Rg

．
（2）根據(jù)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力得：

GMm

r2

=m

4π2

T2

r，
聯(lián)立
解得：r=

3	gR2T2 4π2

．
（3）將地球看成是半徑為R的均勻球體，其體積為V=

4

3

πR³ 
地球的平均密度ρ=

M

V

，聯(lián)立解得：ρ=

3g

4πGR

．

答：（1）衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的第一宇宙速度v₁的大小為

Rg

；
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)行周期為T，衛(wèi)星運(yùn)行的軌道半徑r為

3	gR2T2 4π2

；
（3）地球平均密度的ρ表達(dá)式為

3g

4πGR

．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．