Question

【題目】如圖所示，在豎直邊界1、2間傾斜固定一內(nèi)徑較小的光滑絕緣直管道，其長(zhǎng)度為L，上端離地面高L，下端離地面高．邊界1左側(cè)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E1（未知），邊界2右側(cè)有豎直向上的場(chǎng)強(qiáng)大小為E2（未知）的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）．現(xiàn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的小球從距離管上端口2L處無(wú)初速釋放，小球恰好無(wú)碰撞進(jìn)入管內(nèi)（即小球以平行于管道的方向進(jìn)入管內(nèi)），離開(kāi)管道后在邊界2右側(cè)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，重力加速度為g．

（1）計(jì)算E1與E2的比值；

（2）若小球第一次過(guò)邊界2后，小球運(yùn)動(dòng)的圓弧軌跡恰好與地面相切，計(jì)算滿(mǎn)足條件的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0；

（3）若小球第一次過(guò)邊界2后不落到地面上（即B>B0），計(jì)算小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，小球在磁場(chǎng)中的位移與小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比值．（若計(jì)算結(jié)果中有非特殊角的三角函數(shù)，可以直接用三角函數(shù)表示）

Answer 1

【答案】（1）：1；（2）；（3）

【解析】

根據(jù)題意，粒子先經(jīng)過(guò)電場(chǎng)，做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在進(jìn)入管中，出來(lái)以后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)相關(guān)的公式和定理即可求解。

（1）設(shè)管道與水平面的夾角為α，由幾何關(guān)系得：

解得：

由題意，小球在邊界1受力分析如下圖所示，有：

因小球進(jìn)入邊界2右側(cè)區(qū)域后的軌跡為圓弧，則有：

mg ＝qE2

解得比值：

E1 ：E2＝：1

（2）設(shè)小球剛進(jìn)入邊界2時(shí)速度大小為v，由動(dòng)能定理有：

聯(lián)立上式解得：

設(shè)小球進(jìn)入E2后，圓弧軌跡恰好與地面相切時(shí)的軌道半徑為R，如下圖，由幾何關(guān)系得：

代入數(shù)據(jù)解得：

洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：

（3）如下圖，設(shè)此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的位移為：

圓周運(yùn)動(dòng)周期為：

則小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

解得比值：