Question

如圖ox、oy、oz為相互垂直的坐標(biāo)軸，oy軸為豎直方向，整個空間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為+q的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度υ₀沿ox軸正方向拋出（不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g）．求：
（1）若在整個空間加一勻強(qiáng)電場E₁，使小球在xoz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，求勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E₁和小球做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑r；
（2）若撤去磁場，在整個空間加一沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E₂=

3mg

q

，若仍將小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度υ₀沿ox軸正方向拋出，求該小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O拋出經(jīng)過時間t后的動能E_k．

Answer 1

分析：（1）若在整個空間加一勻強(qiáng)電場E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，重力與電場力平衡，由平衡條件求出場強(qiáng)．由牛頓第二定律求出半徑．
（2）若在整個空間加一沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，小球在復(fù)合場中做螺旋運(yùn)動，運(yùn)用分解法研究坐標(biāo)y和動能E_k．

解答：解：（1）因?yàn)橐�小球在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，必須滿足qE₁=mg 
解得：E1=

mg

q

，方向沿y軸正向   
小球運(yùn)動的過程中洛倫茲力提供向心力，得：qvB=m

v 2 0

r

 
解得：r=

mv0

qB

 
（2）小球在復(fù)合場中做類平拋運(yùn)動，在 y軸方向上做初速為零的勻加速運(yùn)動．
加速度為：a=

qE2-mg

m

=2g 
y軸方向的位移為：y=

1

2

at2 
由動能定理得：(qE2-mg)y=Ek-

1

2

mv02 
解得：Ek=

1

2

mv02+2mg2t2 
答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度 E1=

mg

q

，方向沿y軸正向，小球做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑r=

mv0

qB

；
（2）該小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O拋出經(jīng)過時間t后的動能Ek=

1

2

mv02+2mg2t2．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵要掌握物體做勻速圓周運(yùn)動的條件，分析受力情況是基礎(chǔ)．對于小球做螺旋運(yùn)動，采用運(yùn)動的分解法研究是常用方法．