Question

7．如圖，固定斜面傾角α=37°，質(zhì)量為m的物體受拉力F作用由靜止開(kāi)始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，拉力F的方向與斜面的夾角為β．在β=37°和β=0兩種情況下，若拉力F大小相同，物體沿斜面上滑的加速度相同．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）拉力F的大小在何范圍；
（3）若拉力F的大小為$\frac{{9\sqrt{10}}}{25}$mg，方向可變，使物體由靜止沿斜面上滑一段位移s，則所需的最短時(shí)間t為多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)β=37°時(shí)，對(duì)物體受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式，當(dāng)β=0時(shí)，對(duì)物體受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）根據(jù)（1）中求出的兩個(gè)加速度的表達(dá)式結(jié)合a＞0求解F的范圍；
（3）拉力F的方向與斜面的夾角為任意β時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出加速度的最大值，再根據(jù)位移時(shí)間公式求解最小時(shí)間．

解答 解：（1）β=37°時(shí)，物體的加速度為a，則：Fcos37°-mgsin37°-μ（mgcos37°-Fsin37°）=ma①
β=0時(shí)：F-mgsin37°-μmgcos37°=ma②
由①、②式有：Fcos37°+μFsin37°=F，cos37°+μsin37°=1
解得：$μ=\frac{1}{3}$
（2）由①式有：mgcos37°≥Fsin37°，
解得：$F≤\frac{4}{3}mg$
a＞0，由②式可得：F-mgsin37°-μmgcos37°＞0
則$F＞\frac{13}{15}mg$
則$\frac{13}{15}mg＜F≤\frac{4}{3}mg$
（3）拉力F的方向與斜面的夾角為β，則：
Fcosβ-mgsin37°-μ（mgcos37°-Fsinβ）=ma
F（cosβ+μsinβ）-mgsin37°-μmgcos37°=ma
$F\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（β+θ）-mgsin37°-μmgcos37°=ma$，其中$tanθ=\frac{1}{μ}=3$
當(dāng)$β=arctan\frac{1}{3}$時(shí)，物體的加速度a最大，${a_m}=\frac{1}{3}g$
物體勻加速上滑：$s=\frac{1}{2}a{t^2}$
解得：${t_{min}}=\sqrt{\frac{2s}{a_m}}=\sqrt{\frac{6s}{g}}$
答：（1）物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{1}{3}$；
（2）拉力F的大小在何范圍為$\frac{13}{15}mg＜F≤\frac{4}{3}mg$；
（3）若拉力F的大小為$\frac{{9\sqrt{10}}}{25}$mg，方向可變，使物體由靜止沿斜面上滑一段位移s，則所需的最短時(shí)間t為$\sqrt{\frac{6s}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了牛頓第二定律得直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況，第3問(wèn)中要寫出加速度的一半表達(dá)式，能根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出加速度的最大值，對(duì)數(shù)學(xué)要求較高，難度適中．