Question

5．如圖所示，在空間內，有一直角坐標系xOy，在第四象限內有一方向沿x軸負方向的勻強電場，直線OP與x軸正方向夾角為30°，第一象限內有兩個垂直于紙面的勻強磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，OP是他們的理想邊界，其中 I區(qū)勻強磁場的磁感應強度為B₀，有一質量為m、電荷量為q的質子（不計重力）以初速度v₀從圖中A點沿與y軸正方向成60°角射入勻強電場中，經(jīng)過電場后恰好從Q點垂直x軸進入Ⅰ區(qū)磁場，先后經(jīng)過Ⅰ、Ⅱ兩磁場后，以與PO方向成30°角從O點射出．
求（1）II區(qū)磁場的磁感應強度B₁大小
（2）質子在磁場中偏轉的時間t
（3）電場強度E的大小．

Answer 1

分析 （1）質子在電場中做類似斜拋運動，采用逆向思維，是類似平拋運動的逆過程，根據(jù)分速度公式列式；在兩個磁場區(qū)域均是勻速圓周運動，結合幾何關系分析即可；
（2）質子在兩個磁場區(qū)域均是勻速圓周運動，找出圓心角，結合公式t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解即可；
（3）對在電場力運動過程根據(jù)動能定理列式求解即可．

解答 解：（1）由題，質子在電場中運動時，水平方向做勻減速運動，豎直方向勻速直線運動，則到達Q點時，質子的速度：
v=v₀cos60°=$\frac{v_0}{2}$
質子在磁場中做圓周運動時滿足：
$Bqv=m\frac{v^2}{R}$
由幾何關系，確定質子在兩磁場中的圓心位置，如圖所示，則設半徑分別為R₁、R₂．
滿足：R₂=2R₁
得：${B_1}=\frac{B_0}{2}$
（2）由幾何關系，質子在 I區(qū)磁場中偏轉的圓心角為90°，在 II區(qū)磁場中偏轉的圓心角為60°，
由運動時間與圓心角關系$t=\frac{θm}{qB}$，質子運動的時間為：
$t=\frac{πm}{{2q{B_0}}}+\frac{πm}{{3q{B_1}}}=\frac{7πm}{{6q{B_0}}}$
（3）在電場中運動時，由動能定理，有：
$-qE•OQ=\frac{1}{2}m{（\frac{v_0}{2}）^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
結合幾何關系，有：
OQ=R₁+R₂sin60°=$\frac{{（1+\sqrt{3}）m{v_0}}}{{2q{B_0}}}$
解得：$E=\frac{3（\sqrt{3}-1）{B}_{0}{v}_{0}}{8}$
答：（1）II區(qū)磁場的磁感應強度B₁大小為$\frac{{B}_{0}}{2}$；
（2）質子在磁場中偏轉的時間t為$\frac{7πm}{6q{B}_{0}}$；
（3）電場強度E的大小為$\frac{3（\sqrt{3}-1）{B}_{0}{v}_{0}}{8}$．

點評 帶電粒子通過磁場的邊界時，如果邊界是直線，根據(jù)圓的對稱性得到，帶電粒子入射速度方向與邊界的夾角等于出射速度方向與邊界的夾角，這在處理有界磁場的問題常常用到．