Question

7．如圖甲所示，在磁感應強度為B的水平勻強磁場中，有兩根豎直放置相距為L平行光滑的金屬導軌，頂端用一阻直為尺的電阻相連，兩導軌所在的豎直平面與磁場方向垂直．一根質量為m的金屬棒從靜止開始沿導軌豎直向下運動，當金屬棒下落h時，速度達到最大，整個過程中金屬棒與導軌保持垂直且接觸良好．重力加速度為g，導軌與金屬棒的電阻可忽略不計，設導軌足夠長．求：
（l）通過電阻R的最大電流；
（2）從開始到速度最大過程中，金屬棒克服安培力做的功W_A；
（3）若用電容為C的平行板電容器代替電阻R，如圖乙所示，仍將金屬棒從靜止釋放，經(jīng)歷時間t的瞬時速度v₁．

Answer 1

分析 （1）將金屬棒做勻速運動時，產(chǎn)生的感應電動勢最大，通過R的電流最大．由平衡條件和安培力公式結合求解．
（2）由安培力和重力平衡，求出最大速度，再由動能定理求解金屬棒克服安培力做的功W_A．
（3）結合牛頓第二定律、電流的定義式和電容的定義式、切割產(chǎn)生的感應電動勢公式求出加速度的表達式，得出金屬棒做勻加速直線運動，然后根據(jù)速度時間公式求出金屬棒的速度．

解答 解：（1）設金屬棒所受的安培力為F_A．
通過電阻R的最大時，棒做勻速運動，即有 F_A=mg ①
又 F_A=BIL ②
聯(lián)立得 I=$\frac{mg}{BL}$  ③
（2）由E=BLv…④
I=$\frac{E}{R}$…⑤
由③④⑤得：棒的最大速度v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$ …⑥
由動能定理得：mgh-W_A=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-0…⑦
由⑥⑦得：金屬棒克服安培力做功 W_A=mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$…⑧
（3）電容器兩端電壓 U=E …⑨
電容器容納的電量：q=CU…⑩
流過金屬棒的電流 i=$\frac{△q}{△t}$  …⑪
由④⑨⑩⑪得 i=$\frac{BLC△v}{△t}$=BLCa…⑫
由牛頓第二定律得：mg-F_A=ma…⑬
由②⑫⑬得 a=$\frac{mg}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$…⑭
故金屬棒做勻加速直線運動，t時刻金屬棒的速度 v₁=at=$\frac{mgt}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$…⑮
答：
（l）通過電阻R的最大電流為$\frac{mg}{BL}$；
（2）從開始到速度最大過程中，金屬棒克服安培力做的功W_A是mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）將金屬棒從靜止釋放，經(jīng)歷時間t的瞬時速度v₁是$\frac{mgt}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$．

點評 解決本題的關鍵通過牛頓第二定律、電流的定義式和電容的定義式、切割產(chǎn)生的感應電動勢公式得出加速度的表達式，知道金屬棒做勻加速直線運動．本題難度較大．