Question

12．如圖所示，一對(duì)加有恒定電壓的平行金屬極板豎直放置，板長(zhǎng)、間距均為d．在右極板的中央有個(gè)小孔P，小孔右方半徑為R 的圓形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域邊界剛好與右極板在小孔在P處相切，一排寬度也為d的帶負(fù)電粒子以速度V0豎直向上同時(shí)進(jìn)入兩極板間后，只有一個(gè)粒子通過(guò)小孔P進(jìn)入磁場(chǎng)，其余全部打在右極板上，且最后一個(gè)到達(dá)極板的粒子剛好打在右極板的上邊緣．已知這排粒子中每個(gè)粒子的質(zhì)量均為m、電荷量大小均為q，磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用力，求：
（1）板間的電壓大小U；
（2）通過(guò)小孔P的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)到右極板的距離L；
（3）通過(guò)小孔P的粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t_總．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的合成與分解，及牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（2）根據(jù)速度的合成法則，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式，即可求解；
（3）根據(jù)粒子在電場(chǎng)中，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再根據(jù)在磁場(chǎng)中，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，求得在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，最后即可求解總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)力作用下，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，則有：
水平方向有：$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$；
豎直方向有：d=v₀t；
而a=$\frac{qU}{md}$；
解得：U=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q}$；

（2）粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小，設(shè)為v，則有：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（a×\frac{\fracqz59fac{2}}{{v}_{0}}）^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀；
且速度與豎直板夾角為45°；根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式，則有：
r=$\frac{m•\sqrt{2}{v}_{0}}{Bq}$
而磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度大小為：B=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$，
解得：r=R；
根據(jù)幾何關(guān)系，可知，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)到右極板的距離為：L=$\sqrt{{R}^{2}+{R}^{2}}$=$\sqrt{2}$R；
（3）粒子在電場(chǎng)力作用下，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，所需要時(shí)間為：t₁=$\frac{\frachjaa6vf{2}}{{v}_{0}}$=$\frac1dp8a4v{2{v}_{0}}$；
而粒子在磁場(chǎng)中，與水平方向夾角為45°，那么出磁場(chǎng)時(shí)，也與水平方向夾角為45°，因此在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t₂=$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}×$$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{\sqrt{2}πR}{{v}_{0}}$；
那么通過(guò)小孔P的粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：
t_總=t₁+t₂=$\frac{d+2\sqrt{2}πR}{2{v}_{0}}$；
答：（1）板間的電壓大小$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（2）通過(guò)小孔P的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)到右極板的距離$\sqrt{2}$R；
（3）通過(guò)小孔P的粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間$\frac{d+2\sqrt{2}πR}{2{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查粒子在電場(chǎng)中類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)與磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用，理解向心力表達(dá)，注意結(jié)合幾何關(guān)系畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．