Question

11．如圖所示的平面直角坐標系中存在有界的場區(qū)，y軸左側(cè)有沿x軸正向的勻強電場E=1×10⁵N/C，第一象限內(nèi)有沿y軸負向大小也為E=1×10⁵N/C的勻強電場，第四象限-L＜y＜0的區(qū)域內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強磁場B=1T．今在A（-a，a）點將一個質(zhì)量為m=8×10^-25kg（重力不計），電量為q=+1.6×10^-19C的點電荷由靜止釋放，已知a=1m．求：
（1）欲使電荷能返回到第一象限，求所加磁場的寬度L和電荷在第一象限內(nèi)沿y軸方向上的最遠距離；
（2）求電荷沿x軸正方向運動的周期和第一個周期內(nèi)的平均速度；
（3）若將磁場的方向換為垂直紙面向外，讓磁感應(yīng)強度的大小減半，仍能使電荷周期性運動，求所加磁場的區(qū)域的范圍．

Answer 1

分析 （1）點電荷在電場作用下沿x軸正方向做勻加速直線運動，垂直y軸進而入第一象限，在第一象限中在電場E的作用下做類平拋運動，進入磁場后做勻速圓周運動，畫出點電荷運動的軌跡，根據(jù)動能定理結(jié)合向心力公式結(jié)合幾何關(guān)系求解；
（2）根據(jù)粒子運動軌跡可知，一個周期的時間為類平拋運動的時間、在磁場中做勻速運動的時間以及斜上拋運動到最高點的時間，根據(jù)平拋運動的基本公式以及圓周運動的周期公式求解，平均速度等于位移除以時間；
（3）若將磁場的方向換為垂直紙面向外，磁感應(yīng)強度的大小減半，畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)半徑公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）點電荷在電場作用下沿x軸正方向做勻加速直線運動，垂直y軸進而入第一象限，在第一象限中在電場E的作用下做類平拋運動，設(shè)進入第一象限時的速度為v₀，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=Eaq$
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{0}=2×1{0}^{5}m/s$，
進入第一象限后，在E的作用下做類平拋運動，沿x軸方向以速度v₀做勻速直線運動，沿y軸負方向做勻加速直線運動，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}=Eaq$
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{y}=2×1{0}^{5}m/s$，
則點電荷以與x軸成45°進入磁場，速度為：v=$\sqrt{2}{v}_{0}=2\sqrt{2}×1{0}^{5}m/s$，
進入磁場后做勻速圓周運動，則離開磁場進入第一象限時的速度方向與x軸正方向成45°，
進入電場后做斜上拋運動，沿y軸正方向和x軸正方向運動的速度都沒有變化，則沿y軸方向上的最遠距離仍為a，運動軌跡如圖所示：

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{mv}{Bq}=\sqrt{2}m$
根據(jù)幾何關(guān)系得，L=r-$\frac{\sqrt{2}}{2}r$=$（\sqrt{2}-1）m$，
所加磁場的寬度L$≥（\sqrt{2}-1）m$，
（2）點電荷在第一象限做類平拋運動的時間為：${t}_{1}=\frac{a}{\frac{{v}_{y}}{2}}=1×1{0}^{-5}s$，
在磁場中做圓周運動的時間為：${t}_{2}=\frac{90°}{360°}T′=\frac{1}{4}×\frac{2πm}{Bq}=2.5π×1{0}^{-6}s=0.785×1{0}^{-5}s$，
則電荷沿x軸正方向運動的周期為：T=${2t}_{1}+{t}_{2}=2.785×1{0}^{-5}s$，
一個周期內(nèi)點電荷在x正方向運動的位移為：x=$2{v}_{0}{t}_{1}+\sqrt{{r}^{2}+{r}^{2}}$=6m，
則一個周期內(nèi)的平均速度為：$\overline{v}=\frac{x}{T}=\frac{6}{2.785×1{0}^{-5}}=2.15×1{0}^{5}m/s$，
（3）若將磁場的方向換為垂直紙面向外，磁感應(yīng)強度的大小減半，粒子的運動軌跡如圖所示：

半徑為：r′=$\frac{mv}{B′q}=\frac{8×1{0}^{-25}×2\sqrt{2}×1{0}^{5}}{0.5×1.6×1{0}^{-19}}$=$2\sqrt{2}m$，
根據(jù)幾何關(guān)系可知，所加磁場的寬度為：L$′=r′+r′sin45°=（2\sqrt{2}+2）m$，
所以所加磁場的區(qū)域的范圍為$L′≥（2\sqrt{2}+2）m$．
答：（1）所加磁場的寬度L的范圍為$L≥（\sqrt{2}-1）m$，電荷在第一象限內(nèi)沿y軸方向上的最遠距離為a；
（2）電荷沿x軸正方向運動的周期為2.785×10^-5s，第一個周期內(nèi)的平均速度為2.15×10⁵m/s；
（3）若將磁場的方向換為垂直紙面向外，讓磁感應(yīng)強度的大小減半，仍能使電荷周期性運動，所加磁場的區(qū)域的范圍為$L′≥（2\sqrt{2}+2）m$．

點評 本題是帶電粒子在復(fù)合場中運動問題，在磁場中做勻速圓周運動，在電場中加速做勻加速直線運動，在電場中偏轉(zhuǎn)做類平拋運動，關(guān)鍵畫出運動軌跡，然后分段運用牛頓第二定律、向心力公式、類似平拋運動的分位移公式列式求解．