Question

9．如圖甲所示，足夠長的人平行金屬導軌MN、PQ固定在同一水平面上，兩導軌間距為L，MP間連有電阻R，導軌上停放一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿ab，導軌電阻忽略不計，整個裝置處于豎直向下的勻強磁場中，從0時刻起對ab施一水平向右的恒定拉力作用，t₂時刻ab達最大速度v₀，以后撤去拉力，ab桿向右運動的v-t圖象如圖乙所示，圖中斜向虛線為過原點速度圖線的切線．已知ab桿與導軌間動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，求：
（1）勻強磁場的磁感應強度B；
（2）t₂時刻回路的電功率P；
（3）ab運動過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)t=0時刻圖象的斜率求加速度，由牛頓第二定律求得拉力．t₂時刻ab達最大速度v₀，此時ab棒受力平衡，由平衡條件求磁感應強度B；
（2）由上題的結(jié)果求出感應電流，再求回路的電功率P；或根據(jù)功能關系求解．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，求出ab棒運動的總位移，再由能量守恒求焦耳熱．

解答 解：（1）t=0時刻ab棒的加速度 a=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{1}}$
根據(jù)牛頓第二定律有 F-μmg=ma
t₂時刻ab達最大速度v₀，此時ab棒受力平衡，則有
  F=μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+r}$
聯(lián)立以上三式解得 B=$\sqrt{\frac{m（R+r）}{{L}^{2}{t}_{1}}}$
（2）t₂時刻回路的電功率 P=（F-μmg）v₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{t}_{1}}$
（3）對加速運動過程，有
   F-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
  （F-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$）△t=m△v
即（F-μmg）△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（F-μmg）△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
可得 （F-μmg）t₂-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{1}}{R+r}$=mv₀，
得加速運動的位移 x₁=v₀（t₂-t₁）
同理得減速運動得-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
-μmg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-μmg）△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
-μmg（t₃-t₂）-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}}{R+r}$=-mv₀，
得減速運動的位移 x₂=v₀t₁-μg（t₃-t₂）t₁．
根據(jù)能量守恒得：
回路中產(chǎn)生的焦耳熱 Q=F•x₁-μmg（x₁+x₂） 
聯(lián)立解得 Q=$\frac{m{v}_{0}^{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}{{t}_{1}}$-μmgv₀（t₂-t₁）-μ²mg²（t₃-t₂）t₁．
答：
（1）勻強磁場的磁感應強度B是$\sqrt{\frac{m（R+r）}{{L}^{2}{t}_{1}}}$；
（2）t₂時刻回路的電功率P是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{t}_{1}}$；
（3）ab運動過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q是$\frac{m{v}_{0}^{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}{{t}_{1}}$-μmgv₀（t₂-t₁）-μ²mg²（t₃-t₂）t₁．

點評 解決本題的關鍵根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，運用積分法分析位移，要注意研究圖象斜率的意義，由電磁感應與力學規(guī)律結(jié)合解答．