Question

一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，矩形區(qū)域的左邊界ad長為L，現(xiàn)從ad中點(diǎn)O垂直于磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為v₀的帶正電粒子，如圖所示．已知粒子電荷量為q，質(zhì)量為m（重力不計(jì)）：
（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場，v₀應(yīng)滿足什么條件？
（2）若要求粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長，粒子應(yīng)從哪一條邊界處射出？最長時間是多少？出射點(diǎn)位于該邊界上何處？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系可確定半徑的范圍，即可求解；
（2）根據(jù)題意確定運(yùn)動軌跡，再由圓心角與周期公式，即可確定最長運(yùn)動的時間；根據(jù)半徑公式與半徑的取值，即可求解．

解答：解：（1）粒子帶正電，粒子運(yùn)動的軌跡如圖所示，當(dāng)粒子的速度大于與R₁相對應(yīng)的速度v₁時，粒子將恰好不從dc邊射出．
由幾何關(guān)系可得：R₁=L…①
由洛侖茲力和向心力公式可得：qv₁B=m

v12

R1

…②
當(dāng)粒子的速度小于與R₂相對應(yīng)的速度v₂時，粒子將從ad邊射出．
由幾何關(guān)系可得：R₂+R₂sin30°=

1

2

L…③
由③式解得：R₂=

1

3

L…④
由洛侖茲力和向心力公式可得：qv₂B=m

v22

R2

…⑤
將①④式分別代入②⑤式可解得v₁=

qBL

m

，v₂=

qBL

3m

所以v₀的取值范圍是

qBL

3m

＜v₀≤

qBL

m

．
（2）若粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長，其對應(yīng)的圓周運(yùn)動的圓心角必然最大，在答圖中，當(dāng)粒子的速度小于v₂時，粒子從ad邊的不同位置射出時，其半徑雖不同，但圓心角的夾角都是

5

6

×2π，所以粒子在磁場中的運(yùn)動時間也是

5

6

T，此即粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間．
粒子運(yùn)動的周期：T=

2πR

v

=

2πm

qB

所以粒子運(yùn)動的最長時間為：t=

5

6

T=

5πm

3qB

.

OP

=2R₂sin30°=R₂=

1

3

L
即：粒子將從O點(diǎn)上方的

1

3

L的范圍射出磁場．
答：（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場，v₀應(yīng)滿足

qBL

3m

＜v₀≤

qBL

m

．
（2）若要求粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長，粒子應(yīng)從ad邊界處射出，最長時間是

5πm

3qB

，
出射點(diǎn)位于該邊界上O點(diǎn)上方

1

3

L處．

點(diǎn)評：考查牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握幾何關(guān)系在題中的運(yùn)用，理解在磁場中運(yùn)動時間與圓心角的關(guān)系．注意本題關(guān)鍵是畫出正確的運(yùn)動軌跡．