Question

2．如圖所示的裝置，x軸負半軸上為速度選擇器，正半軸上有一圓形磁場，y軸上有一豎直屏，一束帶正電的離子流從狹縫S₁射進速度選擇器，能夠沿直線通過速度選擇器并從狹縫S₂進入圓形磁場，已知速度選擇器內部存在著相互垂直的場強為E₀的勻強磁場和磁感應強度為B₀的勻強磁場．圓形磁場的圓心位于x=R處，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一粒子從圓形磁場射出并打在y軸負半軸上的（$\sqrt{2}$+1）R處，則：
（1）圓形磁場的大小和方向為多少？
（2）若在圓形磁場外存在半徑為$\sqrt{3}$R的同心圓，圓環(huán)內存在方向與圓形磁場相反的勻強磁場B′，上述粒子恰好能穿出外邊的磁場，那么B′的值為多少？
（3）在第（2）問中，粒子從進入圓形磁場到恰好穿出環(huán)形磁場的時間為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在速度選擇器中做勻速直線運動，粒子在磁場中做勻速圓周運動，應用平衡條件與牛頓第二定律可以求出磁感應強度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，作出粒子運動軌跡，應用幾何知識求出粒子的軌道半徑，然后應用牛頓第二定律求出磁感應強度．
（3）根據(jù)題意求出粒子在磁場中做圓周運動周期，然后求出粒子在磁場中的運動時間．

解答 解：（1）粒子在速度選擇器中做勻速直線運動，由平衡條件得：
qE₀=qvB₀，
解得：v=$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$，
粒子沿半徑方向射入磁場，粒子射出圓形磁場時，速度方向的反向延長線過圓形磁場的圓心，由幾何知識得：
r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{\sqrt{3}m{E}_{0}}{qR{B}_{0}}$，方向：垂直于紙面向外；
（2）粒子進入外側磁場運動軌跡恰好與外圓相切，如圖所示：
由幾何知識得：R²+r²=[（$\sqrt{2}$+1）R-r]²，解得：r′=R，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，
解得：B′=$\frac{m{E}_{0}}{q{B}_{0}R}$；
（3）粒子在內側磁場做圓周運動的周期：T₁=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2\sqrt{3}πR{B}_{0}}{3{E}_{0}}$，
粒子在內側磁場中的運動時間：t₁=$\frac{1}{3}$T₁=2$\frac{\sqrt{3}πR{B}_{0}}{9{E}_{0}}$，
粒子在外磁場中做圓周運動的周期：T₂=$\frac{2πm}{qB′}$=$\frac{2πR{B}_{0}}{{E}_{0}}$，
粒子在外磁場中做圓周運動是時間：t₂=$\frac{3}{8}$T₂=$\frac{3πR{B}_{0}}{4{E}_{0}}$，
粒子的運動時間：t=t₁+t₂=$\frac{（27+8\sqrt{3}）πR{B}_{0}}{36{E}_{0}}$；
答：（1）圓形磁場的大小為：$\frac{\sqrt{3}m{E}_{0}}{qR{B}_{0}}$，方向：垂直于紙面向外；
（2）B′的值為：$\frac{m{E}_{0}}{q{B}_{0}R}$；
（3）在第（2）問中，粒子從進入圓形磁場到恰好穿出環(huán)形磁場的時間為：$\frac{（27+8\sqrt{3}）πR{B}_{0}}{36{E}_{0}}$．

點評 本題考查了粒子在速度選擇器與磁場中的運動，粒子在速度選擇器中做勻速直線運動，在磁場中做勻速圓周運動，分析清楚粒子運動過程是正確解題的關鍵，應用平衡條件與牛頓第二定律可以解題．