Question

（2009?江蘇）1932年，勞倫斯和利文斯設計出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計．磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直．A處粒子源產生的粒子，質量為m、電荷量為+q，在加速器中被加速，加速電壓為U．加速過程中不考慮相對論效應和重力作用．
（1）求粒子第2次和第1次經過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t；
（3）實際使用中，磁感應強度和加速電場頻率都有最大值的限制．若某一加速器磁感應強度和加速電場頻率的最大值分別為B_m、f_m，試討論粒子能獲得的最大動能E_km．

Answer 1

分析：（1）狹縫中加速時根據動能定理，可求出加速后的速度，然后根據洛倫茲力提供向心力，推出半徑表達式；
（2）假設粒子運動n圈后到達出口，則加速了2n次，整體運用動能定理，再與洛倫茲力提供向心力，粒子運動的固有周期公式聯立求解；
（3）B_m對應粒子在磁場中運動可提供的最大頻率，f_m對應加速電場可提供的最大頻率，選兩者較小者，作為其共同頻率，然后求此頻率下的最大動能．

解答：解：（1）設粒子第1次經過狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁
qU=

1

2

mv₁²
qv₁B=m

v 2 1

r1

解得  r1=

1

B

2mU q

同理，粒子第2次經過狹縫后的半徑  r2=

1

B

4mU q

則 r2：r1=

2

：1．
（2）設粒子到出口處被加速了n圈

2nqU= 1 2 mv2 qvB=m v2 R T= 2πm qB t=nT

解得  t=

πBR2

2U

．
（3）加速電場的頻率應等于粒子在磁場中做圓周運動的頻率，即f=

qB

2πm

當磁場感應強度為B_m時，加速電場的頻率應為fBm=

qBm

2πm

粒子的動能EK=

1

2

mv2
當f_Bm≤f_m時，粒子的最大動能由B_m決定qvmBm=m

v 2 m

R

解得Ekm=

q2 B 2 m R2

2m

當f_Bm≥f_m時，粒子的最大動能由f_m決定v_m=2πf_mR解得 EKm=2π2m

f

2 m

R2
答：（1）r₂：r₁=

2

：1 （2）t=

πBR2

2U

 （3）當f_Bm≤f_m時，E_Km=

q2 B 2 m R2

2m

；當f_Bm≥f_m時，E_Km=2π2m

f

2 m

R2．

點評：此題是帶電粒子在復合場中運動與動能定理的靈活應用，本題每一問都比較新穎，需要學生反復琢磨解答過程．