Question

17．如圖所示，光滑足夠長導(dǎo)軌傾斜放置，導(dǎo)軌間距為L=1m，導(dǎo)軌平面與水平面夾角為θ=30°，其下端連接一個(gè)燈泡，燈泡電阻為R=3Ω，導(dǎo)體棒ab垂直于導(dǎo)軌放置，除燈泡外其它電阻不計(jì)．兩導(dǎo)軌間的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\sqrt{5}$T，方向垂直于導(dǎo)軌所在平面向上．將導(dǎo)體棒從靜止釋放，當(dāng)導(dǎo)體棒的速度v=2.4m/s時(shí)通過燈泡電量q=0.9$\sqrt{5}$C．隨著導(dǎo)體棒的下滑，最終穩(wěn)定速度v_max=3m/s．（g=10m/s²）
求：（1）導(dǎo)體棒的質(zhì)量m；
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒速度為v=2.4m/s時(shí)，燈泡產(chǎn)生的熱量Q；
（3）為了提高ab棒下滑到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)小燈泡的功率，試通過計(jì)算提出兩條可行的措施．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒最終勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和平衡條件結(jié)合，可求出導(dǎo)體棒的質(zhì)量m．
（2）由通過燈泡的電量與下滑距離的關(guān)系，求出導(dǎo)體棒下滑的距離x，再由能量守恒求解燈泡產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)最大功率表達(dá)式和最大速度表達(dá)式結(jié)合列式，分析提高ab棒下滑到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)小燈泡功率的措施．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)最大速度v_m=3m/s．此時(shí)導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)，則有
  mgsinθ=BIL=B$\frac{BL{v}_{m}}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$   
化簡得 m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{gRsinθ}$=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}×{1}^{2}×3}{10×3×sin30°}$=1kg
（2）設(shè)導(dǎo)體棒下滑距離為x時(shí)速度為v=2.4m/s，在此過程中通過燈泡的電量
  q=$\frac{BL\overline{v}}{R}t$=$\frac{BLx}{R}$
根據(jù)能量守恒定律得：
  mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$   
代入數(shù)據(jù)化簡得 Q=10.62J
（3）小燈泡的最大功率為 P=$\frac{（BL{v}_{m}）^{2}}{R}$  
此時(shí)又有 mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$   
化簡得 P=$\frac{（mgsinθ）^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
因此，提高ab棒下滑到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)小燈泡的功率的措施有：增大導(dǎo)體棒的質(zhì)量、增加導(dǎo)軌平面的傾角、換電阻較大的燈泡、減小磁場、減小導(dǎo)軌間距離．
答：
（1）導(dǎo)體棒的質(zhì)量m為1kg；
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒速度為v=2.4m/s時(shí)，燈泡產(chǎn)生的熱量Q為10.62J；
（3）為了提高ab棒下滑到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)小燈泡的功率，措施有：增大導(dǎo)體棒的質(zhì)量、增加導(dǎo)軌平面的傾角、換電阻較大的燈泡、減小磁場、減小導(dǎo)軌間距離．

點(diǎn)評 本題的突破口是：導(dǎo)體棒穩(wěn)定時(shí)即速度最大時(shí)，導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力沿斜面向下的分力與安培力平衡，同時(shí)，要正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化的，從力和能量兩個(gè)角度研究．